Полігон в рамках задачі узагальнення полігонів

Я хочу вибачитися за всі публікації нижче. Вибрали неправильний форум, щоб опублікувати це спочатку. Однак замість того, щоб зробити це повноцінним відходом, я переробив це питання, щоб бути справжньою проблемою "Теоретичної інформатики".

Проблема: Створіть алгоритм, який приймає набір з n упорядкованих точок у двовимірній площині, які утворюють контур простого многокутника A, який може бути, а може бути і не увігнутим, і створює новий багатокутник B з m точками таким чином:

1. всі точки А містяться в B
2. 3 <= m <n
3. B - багатокутник у множині всіх Bs з найменшою площею
4. B повинен бути простим багатокутником (тобто відсутність самоперехрестя).
5. Вхід до алгоритму - багатокутник A і "m".
6. Допускається збіг відрізків у В з відрізками в А.

Деякі приклади входів та очікувані результати:

1. Якщо A - квадрат, а m дорівнює 3, то B буде трикутником з найменшою площею поверхні, що містить A.
2. Якщо A - це шестикутник, а m - 4, то B буде чотирикутником з найменшою площею поверхні, яка містить A.

Успіхів усім, хто намагається вирішити цю проблему. Можу пообіцяти, що це буде дуже важко, особливо зараз, коли рішення має бути оптимальним.

Я не знаю, як виглядають ваші багатокутники, але, можливо, достатньо спрощеної версії алгоритму Рамер – Дуглас – П’юкер :

• для кожної опуклої частини обчисліть площу$A_j$ з трикутників $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ утворені трьома поспіль пунктами;
• для кожної увігнутої частини обчисліть площу$B_k$ з двох трикутників $P_i P'_i P_{i+1}$ і $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ утворена розширенням двох точок $P_i, P_{i+2}$ і середня точка $P_{i+1}$
• обчислити $min\{A_j,B_k\}$ і видалити відповідну точку (і точки зсуву, якщо операція виконана на увігнутій частині);
• петлю до тих пір, поки $n-m$ бали видалено.

Кордон полігону ($A_j$ зелені трикутники, $B_k$червоні трикутники). Праворуч кордон після усунення двох точок.

Для більш складних алгоритмів ви можете шукати " методи узагальнення полігонів ", хоча ваша перша умова (точки в А містяться у В) передбачає додаткові операції масштабування.

Я давно написав статтю, в якій детально розглядався алгоритм лінійного часу для пошуку найменшої трикутника площі, що охоплює набір точок (або багатокутник):

Дж. О'Рурк, Алок Аггарвал, Сандєєв Мадділа, Майкл Болдуін, "Оптимальний алгоритм пошуку мінімальних огороджувальних трикутників", Дж. Алгоритми , 1986, 7 : 258--269. Link .

Нашу роботу супроводжував загальний алгоритм:

"Мінімальна площа, що обкладає багатокутники", Алок Агарвал, Дж. С. Чанг та Ч. Яп, "Візуальний комп'ютер" , том 1, номер 2 (1985), 112-117. Link .

Ви можете використовувати Google Scholar для відстеження тих пізніших робіт, які цитують їх, щоб знайти вдосконалення та пов’язану роботу.