Підрахунок кількості товстих областей, які перекриваються квадратом

Нехай - одиничний квадрат. Як функція , яка максимальна кількість -жирних парно-неперервних областей діаметром принаймні 1, які можуть перетинати ? $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

Нижче наводимо цифру, що показує, що для $\beta=1$ максимальне число дорівнює 7. А як щодо $\beta = 2, 3, \ldots, n$ ?

Згадаймо визначення жиру для регіонів у площині. З огляду на область , нехай коло радіусу найбільшою коло , що міститься в , і нехай коло радіусу найменший круг , який містить . Вгодованості з задається , і ми говоримо , що є -fat, для . $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Наприклад, якщо $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ , то регіони є одиничними колами, і є в 7 колах діаметром не менше 1, які можуть перекриватися $S$ не перекриваючи один одного. На малюнку нижче ми зобразили одиничний квадрат і 7 одиничних кіл, які перекриваються квадратом.

кола, що перекриваються

cg.comp-geom

— Джо
джерело

Умова «кола по крайней мере , як великий , як » збиває з пантелику, і якщо ви говорите про райони, коло радіуса не такий великий , як . Також для випадок можна поставити кіл (одне посередині ), я нерозумно помиляюся?

S

$S$

1

$1$

S

$S$

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$

7

$7$

S

$S$

— Yixin Cao

Ваше визначення поняття "товстий" - одне із стандартних визначень "жиру". Я припускаю, що ви маєте на увазі "максимальну кількість товстих розрізнених областей діаметром принаймні 1, які можуть перетинати S", оскільки в іншому випадку немає верхньої межі. Крихітні кола мають товщину 1.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E так, саме це я намагаюся сказати. Я відредагую питання, щоб уточнити.

— Джо

@YixinCao Я надав цифру, яка, сподіваємось, прояснить речі.

— Джо

@Joe Як показує моя картина, можливі сім кіл. Суть у цьому: два кола (майже) дотичні до двох протилежних точок. Мій малюнок завжди поганий, але я сподіваюся, що графік корисний.

— Ісін Чао

Я думаю, що максимальна кількість парно розмежуваних жирових областей, які перекриваються квадратом, має бути сильно пов'язане з упаковкою в коло.

Найгірша форма для регіону - це щось на зразок "кулі та ланцюга". Нижче я зобразив таку область для діаметром 1 $\beta=2$

кульковий ланцюг .

і вони можуть упакувати на відстані 1 від одиниці квадрата, очевидно, набагато щільніше, ніж я їх зобразив.

пакувальна кулька

Зауважте, що фактична область кулі та ланцюга визначається зеленою зоною, а зовнішнє коло - лише керівництво для відображення того факту, що ці регіони мають жирність 2. Насправді ланцюгова частина регіону може «зігнутися», щоб дозволити більше регіонів для упаковки.

введіть тут опис зображення

— Джо
джерело