Чи можуть багатопроменеві автомати визначати всі детерміновані контекстно-чутливі мови?

MPA (багатоскатний автомат) - це 2DFA (двосторонній детермінований кінцевий автомат), який може використовувати довільну кількість гальки (насправді не більше гальки на заданому вході w - вхід записується на стрічку між двома кінцями -марки як # w # ). Під час обчислень MPA може виявити, чи є символ під головою з галькою, і тоді він може покласти камінчик (видалити камінчик), якщо немає гальки (галька).$|w|+2$$w$$\# w \#$

- гомоморфізм, де σ - символ, а k > 0 .$h_k(\sigma) = \underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{k \mbox{ times}} = \sigma^k$$\sigma$$k>0$

Для будь-якого детермінованого контекстно-залежного мови то неважко показати , що існує K > 0 таких , що ч до ( L ) може бути визнаний MPA. Отже, вільно кажучи, ми можемо це сказати$\mathtt{L} ~~ \left( \mathtt{L} \in \mathsf{DSPACE(n)} \right),$$k>0~$$h_k( \mathtt{L} )$

будь-яка "проблема", яку можна вирішити лінійно-просторовим DTM (детермінованою машиною Тюрінга), може бути вирішена MPA.

Чи правда це також для будь-якої мови в ? Чи можуть МПР вирішувати всі детерміновані контекстно-чутливі мови?$\mathsf{DSPACE(n)}$

- довжина ш .$|w|$$w$

-символ i t h w , де 1 ≤ i ≤ | ш | .$w_i$$i^{th}$$w$$1 \leq i \leq |w|$

.$h_k(\mathtt{L}) = \left\lbrace h_k(w_1) h_k(w_2) \cdots h_k(w_{|w|}) \mid w \in \mathtt{L} \right\rbrace$

Можливо, ви можете побудувати мову в DPSACE (n), яку MPA не може розпізнати з використовуючи аргумент діагоналізації (напевно, ідея схожа на ту, що у відповіді Бена, але я не копався):$k=1$

Припустимо, що над алфавітом ви кодуєте MPA, використовуючи список переходів:$\Sigma = \{0,1\}$

$s,a,p \rightarrow s',p',L|R;...\#$

де - поточний стан, a - поточний символ, p - статус камінця, s ' - новий стан, p ' - новий стан гальки, L | R - напрямок руху, # - кінцевий маркер).$s$$a$$p$$s'$$p'$$L|R$$\#$

Машина Тьюрінга на вході x може перевірити, чи це дійсний опис M P A x, і імітувати його на вході x для 4 | х | кроки з використанням 6 | х | + журнал | х | комірки, розтягуючи вхід таким чином:$M$$x$$MPA_x$$x$$4^{|x|}$$6|x|+\log|x|$

 MPA description # MPA tape # curr_state # counter #

Де:

• Опис MPA - це вихідний рядок введення (має довжину | x | );$x$$|x|$
• MPA стрічка - це зображення MPA-стрічки: для кожної комірки ми можемо використовувати 3 біти для зберігання головного прапора, прапорця з галькою та вмісту (фіксованого) стрічки (має довжину );$3|x|$
• curr_state зберігає поточний стан MPA (має довжини | x | );$\log |x|$
• лічильник - лічильник кроків моделювання, який оновлюється після кожного кроку моделювання (має довжину ).$2|x|$

Якщо зупиняється на 4 | х | кроки, то TM M виводить навпаки (якщо це не зупиняє M- виходи 0).$MPA_x$$4^{|x|}$$M$$M$

Для досить великих , 4 | х | Етапи моделювання перевищують 2 | х | + 2 | х | журнал | х | яка більше довжини повного опису конфігурації M P A x ; таким чином, якщо M P A x не зупиниться на 4 | х | кроки, то ми впевнені, що це буде циклічно назавжди.$x > x_0$$4^{|x|}$$2^{|x|+2} |x| \log |x|$$MPA_x$$MPA_x$$4^{|x|}$

Припустимо, що є який визначає ту саму мову L of M , то вона завжди зупиняється, і ви можете побудувати "більший" M P A y ′, який визначає ту саму мову, з y ′ > x 0 (просто додайте думних станів).$MPA_y$$L$$M$$MPA_{y'}$$y'>x_0$

За побудовою маємо, що є протиріччям.$MPA_{y'}(y') = 1 - M(y') = 1 - MPA_{y'}(y')$

Ні. Контрприклад: проблема зупинки для MPA вирішується в лінійному просторі: якщо MPA має N станів, нам потрібно | k | +2 біт простору для зберігання галькових місць, log N бітів для зберігання поточного стану та біта для зберігання лічильника; якщо лічильник циклів, змодельована машина ніколи не зупиниться. Це лінійно в | k | (ігноруючи пробіл O (N \ log N), необхідний для опису машини), як потрібно.$\log(N(|k|+2))+|k|+2$

Оскільки ця мова визначається у лінійному просторі, вона також виражається як DCSL.