Більш інтуїтивний доказ теореми про зону?

Теорема про зону говорить, що якщо ми зарізаємо розташування n прямих з іншою лінією, то загальна складність її зони , безліч суміжних до неї 0-, 1- та 2-граней - O (n). Фактична константа - це щось на кшталт 6n, щонайменше, як зазначено в різних підручниках, а доказ - індукція з досить обережним аргументом зарядки.

Мені було задано це запитання в класі, і у мене немає відповіді:

Чи є альтернативне, більш інтуїтивне доказ теореми про зону?

Тепер я розумію, що багато людей вважають, що індукція є досить інтуїтивно зрозумілою і була б ображена моїм наслідком, і я готовий внести зміни до вищезазначеного, щоб просто "чергувати" їх. Але чи є такі докази? Або навіть доказ з книги ?

Це не є чистішим, але це гарна підготовка до більш досконалих речей, і це хороший приклад абстракції ...

Можна використовувати аргумент послідовностей Давенпорта-Шінзеля. Розглянемо регіон над лінією зони. Кожна лінія стає променем, а насправді двома променями, оскільки ми вважаємо ліву та праву сторону різними. Скануйте межі цієї зони зліва направо, записуючи, які промені ви стикаєтесь. Це послідовність, визначена понад 2n символів, і абаб шаблону є незаконним. Таким чином, довжина послідовності становить не більше 2 (2n) -1 = 4n-1. Застосовуючи його до зони нижче лінії, мається на увазі обмеження форми 8n.

Тепер, довести, що послідовність символів без ... a..b..a..b ... як послідовність n символів має довжину 2n-1, легко. дійсно, розгляньте два послідовних виступи одного і того ж персонажа, які найближчі один до одного в цій послідовності. Зрозуміло, що між цими двома символами кожен символ, який з'являється, повинен бути унікальним. Розгляньте такий символ і зауважте, що якщо він з’явиться деінде в рядку, то ми отримаємо заборонене підпорядкування. Як такий, цей символ з'являється рівно один раз у рядку. Видаліть його та при необхідності видаліть зайвий символ, якщо ви створили два поспіль однакових символи. А саме, вилучивши символ із рядка, скорочуйте його на 2, максимальна довжина рядка - 2n-1.

Я вважаю, що індукція є досить інтуїтивно зрозумілою і я ображена вашим наслідком. Але який аргумент зарядки?

Wlog припустимо, що лінія, що визначає зону, є горизонтальною (інакше обертається), і що лінії знаходяться в загальному положенні (інакше турбують і ускладнюють зону). Видаліть один з інших n рядків. Класифікуйте краї результуючої зони як ліву чи праву межі, залежно від того, розташована зона праворуч чи ліворуч відповідно. (Деякі ребра є і лівою, і правою межами, але вони рахуються двічі в межі складності.) За індуктивною гіпотезою існує не більше 3n-3 лівих меж. (Базовий випадок n = 0 є тривіальним.) Повторне встановлення видаленого рядка додає максимум 3 ліві межі (одна на самій лінії, а дві - на розщеплення старих лівих меж). Таким чином, загальна кількість лівих меж становить не більше 3n. Симетрично кількість правильних меж становить не більше 3n, тому загальна складність зони становить не більше 6n.

Доказ аргументації заряджання подається як вправа (разом із покроковими підказками) на сторінці 13 роздаткових роздаткових класів геометрії Девіда Маунта: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf