Універсальні набори воріт для SU (3)?

У квантових обчисленнях нас часто цікавлять випадки, коли група спеціальних унітарних операторів G для деякої d-мірної системи дає точну або всю групу SU (d) рівно, або навіть просто наближення, що забезпечується щільним покриттям SU (d).

Група скінченного порядку, наприклад, група Кліффорда для d-мірної системи C (d), не дасть щільного покриву. Група нескінченного порядку не дасть щільного покриву, якщо група - абелева. Однак моя жорстка інтуїція полягає в тому, що нескінченної кількості воріт та операцій із зміни бази групи Кліффорда повинно вистачити, щоб забезпечити щільне покриття.

Формально моє запитання:

У мене є група G, яка є підгрупою SU (d). G має нескінченний порядок, а C (d) - підгрупа G. Чи всі такі G забезпечують щільне покриття SU (d).

Зауважте, що мене особливо цікавить випадок, коли d> 2.

Я вважаю групу Clifford такою, як визначено тут: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Це не є повною відповіддю, але, можливо, це має певний шлях до відповіді на питання.

Оскільки має нескінченний порядок, але - ні, то обов'язково містить ворота групи, що не є Кліффордом. Однак має як підгрупу. Але для група Кліффорда плюс будь-які інші ворота, які не належать до групи Кліффорда, є приблизно універсальними (див., Наприклад, теорему 1 тут ). Тому всі такі забезпечують щільне покриття на .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

У випадку, коли здається, можливо, можна довести, що ви все ще отримуєте щільну обкладинку по наступних рядках (використовуючи позначення паперу, пов’язаного у запитанні):$d>2$

1. Оскільки всі ворота в є унітарними, усі їх власні значення є корінням єдності, що для простоти я буду параметризувати за реальними кутами .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Оскільки має нескінченний порядок, або містить ворота, для яких принаймні одне значення є ірраціональним кратним або містить довільно гарне наближення до такого ірраціонального кратного . Позначимо одну таку ворота .G θ $G$$G$$\theta_k$π $\pi$$\pi$$g$
3. Тоді існує такий , що довільно близький, але не дорівнює тотожності.g $n$$g^n$
4. Оскільки є унітарним, його можна записати як . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Оскільки група Паулі, як визначено у Quant-ph / 9802007, є основою для матриць , ви можете записати , де і для будь-якого (від [3]), принаймні один з таких не дорівнює нулю.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Потім ми можемо вибрати із елемента із групи Кліффорда, який відображає на під кон'югацією. Таким чином , де - це просто перестановка і .X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α ′ j k X j d Z k d ) ) $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Зауважимо, що задовольняє . Давайте визначимо .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z - ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. За теоремою Бейкер-Камбель-Хаусдорфа, оскільки всі довільно наближені до тотожності, ми можемо оцінити добуток для першого порядку як . Підсумовуючи всі маршрути єдності, для виходить . Це в основному послідовність роз'єднання який розв’язує недіагональні елементи.g ′ = g 1 × . . . × g d exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0 ∑ k α j k X j d Z k d ) ) d > 1 $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Оскільки в експоненції залишаються лише діагональні матриці, має бути діагональною. Крім того, через обмеження на воно обов'язково має власні значення, які не є нульовими, але пропорційні .α ′$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Змінюючи та повторюючи вищезазначений процес, слід створювати лінійно незалежних воріт: , таким чином, що їхній продукт призводить до діагонального затвора з ірраціональною та нерозмірною фазами або довільно близьким наближенням до одного.d g ′ 1 . . . g ′ $\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. За посиланням на відповідь Марка Говарда, це разом з групою Кліффорда повинно бути достатньо для приблизної універсальності.

Я вважаю, що відповідь на оригінальне запитання, мабуть, так, але, на жаль, я не можу цього сказати остаточно. Я можу допомогти відповісти на розширене запитання Петра.

У математиці / 0001038 Неб, Дощі та Слоан вони показують, що група Кліффорда є максимальною кінцевою підгрупою U (2 ^ n). Соловай також показав це в неопублікованій роботі, яка "використовує по суті класифікацію кінцевих простих груп". Небе та ін. У статті також видно, що група Кліффорда qudit є максимальною кінцевою підгрупою для простих p, також використовуючи класифікацію кінцевих груп. Це означає, що група Кліффорда плюс будь-які ворота - це нескінченна група, що робить одне з припущень оригінального питання зайвим.

Тепер і Дойс, і Соловой сказали мені, що наступний крок, який показує, що нескінченна група, що містить групу Кліффорда, є універсальною, є відносно простою. Однак я не знаю, як насправді працює цей крок. І що ще важливіше для оригінального питання, я не знаю, чи розглядали вони лише справу кубіта, а також справу qudit.

Насправді я можу додати, що я також не розумію доказів Nebe, дощів та sloane, але хотів би цього зробити.

Мені незрозуміло, запитуєте ви про SU (3) або SU (3 ), що діє на тензорний добуток qudits. Я припускаю, що ви питаєте про SU (3). Мені не зрозуміло (незважаючи на те, що я говорив у попередній версії своєї відповіді), що твердження для SU (3) передбачає твердження для SU (3 ).$^{n}$$^n$

Поки набір воріт не лежить у підгрупі SU (3), він створюватиме щільну кришку SU (3). Тож вам потрібно перевірити, чи містить будь-яка з нескінченних підгруп SU (3) група Clifford. Я впевнений, що це не так, але точно сказати не можу. Ось питання переповнення математики, яке дає всі підгрупи Лі в SU (3).

Я думав, що я повинен оновити цю тему, перш ніж сайт буде назавжди заморожений.

Відповідь Даніеля - у правильних рядках. Цей "наступний крок", про який він згадує, з'являється у пізнішій книзі Небе, Дощів та Слоуна " Самодуальні коди та інваріантна теорія ".

Отже, відповідь на це питання - «Так» - і це випливає безпосередньо з наслідків 6.8.2 у книзі Небе, Дощів та Слоана.

Я вдячний Вадиму Ключникову, який вказав на це мені під час відвідування Ватерлоо.

Я думаю, що наступний документ може містити відповідні конструкції для доказування універсальності qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

$4$$CZ$$F$$D$$D$

$G$

$G$$G$