Встановлення середнього викривлення

11

Розглянемо два метричних простору і і вкладення . Традиційні вкладиші метричного простору вимірюють якість як найгірше відношення початкового до кінцевої відстані: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Однак є й інші показники якості: Dhamdhere та ін вивчають "середнє" спотворення:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Однак, мене тут цікавить міра, яка використовується методами, подібними до MDS, який розглядає середню помилку добавки :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Хоча методи, схожі на MDS, широко вивчаються поза межами спільноти теорії CS, я знаю лише один документ ( Dhamdhere et al. ), Який вивчає оптимізацію за цим заходом, і це також для обмеженої проблеми вбудовування на лінію ( $Y = \mathbb{R}$ ) (побічна примітка: Теза MS Tasso Sidiropoulos 2005 р. має хороший огляд попередньої роботи)

Чи є якась нещодавніша робота, яку люди знають щодо жорсткого аналізу якості під цим поняттям помилки? Хоча ці проблеми, як правило, непрості, але мене більше цікавлять наближення будь-якого типу.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Суреш Венкат
джерело

3

Це приємне запитання. Я не знаю алгоритмів наближення, але відомі результати твердості для наближення мінімального спотворення (і пов'язані з цим проблеми, такі як метричне маркування) також повинні показувати, що важко наблизити. $\epsilon^2$

Причина полягає в тому, що вони призводять до зменшення проблеми, пов'язаної з NP, таким чином, що у випадку YES спотворення становить а у випадку NO - спотворення є принаймні постійною часткою ребер. Отже, у випадку YES буде коефіцієнтом меншим, ніж у випадку NO. Докладніше див., Наприклад, документ від Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Я не точно впевнений, який коефіцієнт твердості випливає з їх документа, але це не повинно бути важко з'ясувати. (Я б здогадався, принаймні слід дотримуватися фактора який ви отримаєте для метрики.) $\log^c(n)$

— Моріц
джерело

це гарна пропозиція. Я обов'язково вивчу роботу з маркування метрики. Відомо, що навіть вбудовування на лінію є MAX SNP-важким, але було б цікаво (хоч і невтішно) побачити більш сильні результати.

— Суреш Венкат

2

Я можу чогось бракувати, але чому ? Нас цікавить адекватне наближення, тому ми не можемо масштабувати, щоб для всіх , правда? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Однією з переваг тут є те, що ми можемо робити погано на коротких довжинах і бути в порядку в кінцевому рахунку. Крім того, чи легка проблема (наближена, навіть), якщо, скажімо, ми хочемо вбудовуватися в ? (чи можемо ми написати математичну програму для фіксації питання?) $\ell_2$

— aditya
джерело

Гарна думка. Я змінив свою відповідь.

— Моріц

це залежить від рецептури. Якщо ви ставите проблему як мінімізацію для фіксованого розмірного цільового підпростору, обмеження рангів викликають деякі проблеми. Якщо ви використовуєте формулювання в стилі JL (тобто виправити помилку і знайти потрібну розмірність), то щось може бути виконаним.

ϵ

$\epsilon$

— Суреш Венкат

Кількість, яка може бути корисною для "конкуренції" - . Розглянемо проблему вбудовування в (я запропонував раніше, але у неї брудний sqrt). Ми повинні чітко прагнути отримати вбудовування, у яких є (у невиразному сенсі це означає, що ми мультиплікаційно відключаємо для більшості . Чи можемо ми отримати таке вбудовування бо, скажімо, (ступінь const) розширювачі? (або довести, що це неможливо?)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya