Регулярні мови з категоріально-теоретичної точки зору

Я зауважив, що звичайні мови над алфавітом природно, можна розглядати як пори, і справді решітку. Більше того, конкатенація разом із порожньою мовою визначає сувору моноідальну структуру для цієї категорії, яка є розподільною по об'єднанням (я не впевнений, що відповідає). Це корисна конструкція в теорії чи практиці регулярних мов? Чи є якісь приємні пристосування, наприклад, чи можемо ми визначити зірку Клейна як одну?$\Sigma$$\epsilon$

Це копія запитання, заданого на курсі "Компілятори" в Coursera: https://class.coursera.org/compilers/forum/thread?thread_id=311

Багато було зроблено, застосовуючи теорію категорій до звичайних мов та автоматів. Один вихідний пункт - останні документи:

• Біалгебраїчний огляд детермінованих автоматів, регулярних виразів та мов Барта Джейкобса
• Біалгебраїчний підхід до автоматів та теорії формальної мови Джеймса Уортінгтона.

У першій із цих робіт структура регулярних виразів трактується алгебраїчно, а створені мови обробляються вуглегебраїчно. Ці два погляди інтегровані в біалгебраїчну обстановку. Біалгебра - це пара алгебри-вуглегебри з відповідним законом розподілу, що фіксує взаємодію між синтаксичними термінами (регулярні вирази) та обчислювальною поведінкою (генеровані мови). Основою даної роботи є алгебра та вугельгебра, як її обробляють в інформатиці під парасольками універсальної алгебри та вугелібри, а не те, що бачимо в математиці (групи тощо).

У другому документі використовуються методи, що випливають із традиційного математичного лікування алгебри (модулів тощо) та вуглегебри, але я боюся, що я не знаю деталей.

Наскільки я не можу сказати, жодна зірка Кліна не трактується як доповнення.

Загалом, існує велика робота із застосуванням теорії категорій до автоматів замість регулярних виразів. Зразок цієї роботи включає:

• Bloom SL; Сабадіні Н.; Уолтерс RFC Матриці, машини та поведінка. Прикладні категоричні структури, Том 4, Число 4, грудень 1996, стор 343-360 (18)

• Майкл А. Арбіб, Ернест Г. Манес: погляд категористів на автомати та системи. Теорія категорій, що застосовується до обчислень та управління 1974: 51-64

• М. А. Арбіб та Е. Г. Манес. Суміжні машини, машини поведінки та подвійність . Журнал чистої та прикладної алгебри, 6: 313-344, 1975.

• М. А. Арбіб та Е. Г. Манес. Машини в категорії . Журнал чистої та прикладної алгебри, 19: 9-20, 1980.
• Іржі Adámek і книга Віри Trnkova в Automata і Алгебри в категоріях , як було зазначено в коментарі .

Нарешті, є робота над теоріями ітерації, теоріями ітерацій: вирівнювальна логіка ітеративних процесів Стівена Л. Блума та Золтана Есіка, яка зосереджується на ітерації (наприклад, зірка Клейна), але з більш загальної точки зору, де регулярні мови є просто одне, що підпадає під теорію.

Власне, я думаю, що ти шукаєш алгебру Кліна. Дивіться класичну статтю Декстера Козена. Він дає аксіоматизацію Клін-зірки. Я припускаю, що це найперший крок, який вас цікавить.

Теорема про повноту для алгебр Клінова та алгебри регулярних подій. Інформація та обчислення, 110 (2): 366-390, травень 1994р.

У цій статті не використовується теорія категорій, але вона дає еквівалентну аксіоматизацію алгебр Кліна, структура яких включає структуру звичайних мов. Алгебри Кліна з тестами можна розглядати як розширення регулярних виразів для моделювання простих програм з циклами та умовними умовами (але без призначення). Це розширення корисно для міркувань про такі прості програми чисто алгебраїчним чином.

Про вуглегебраїчну теорію алгебри Клінова з тестами. Технічний звіт Корнельський університет, березень 2008 року.

Регулярні мови утворюють булеву алгебру з додатковою структурою, як ви зауважуєте. Ця структура була вивчена з точки зору подвійності Каменя Ніком Піппенджером.

Регулярні мови та кам'яна подвійність . Микола Піппенджер. Теорія обчислювальних систем, 1997: 121-134.

Підхід до подвійності до розпізнавання мови останнім часом був у центрі уваги і застосовувався для отримання нових результатів щодо розпізнавання мови.

Двоїстість та рівняльна теорія регулярних мов. М. Герке, С. Григор’єв, Ж.-Є. Шпилька.

Огляд окулярів на світ з використанням теорії категорій категорій називається категоризацією . Іноді це дає справді приємні та дивовижні результати. Фізики почали говорити, що мислення групи як одноелементного гропоїда має дуже велику зміну . Я починаю розуміти, що мислення моноїда як одноелементної категорії також спрощує багато речей. (Наприклад, моноїдна дія є тоді функтором у Set . Такі речі утворюють декартові закриті категорії та топоси. Отже, у них є лямбда-числення та інтуїтивістська логіка!)

Ви хочете категоризувати звичайні мови. Я не знаю, чи це було зроблено, чи зроблено, і це було нецікаво. Я нічого не бачив про це. Однак алгебраїчна структура регулярних мов, алгебри Клейна, є досить цікавою. Про них величезна кількість літератури. Але, на мою думку, теорія регулярних мов і кінцевих автоматів страждає від передчасного прихильності до кінцевості. (Кінцеві групи цікаві та важливі, але ви не хочете, щоб визначення "група" на початку покладалося на скінченність.) Отже, було б корисно викинути скінченність та вивчити структури більш загально.

Найцікавіша робота, що триває на даний момент, пов'язана зі структурами, які називаються бімоноїдами місцевості, визначеними Хоаром . Виявлено, що паралельні алгебри Клінова є їх примірником . Місцевість бімоноїдів та паралельність - активний напрямок досліджень.