Основні рівняння та форма суми оператора

Я скоріше хлопець з квантової оптики, ніж хлопець з квантовою інформацією, і займаюся головним чином майстерними рівняннями. Мене цікавить форма суми оператора, і я хотів би отримати помилки в цій формі для невеликої квантової системи, яку я імітую.

Захоплення: квантовою системою керує зовнішнє (класичне) поле, змодельоване синусоїдальною функцією, а швидкості демпфування низькі, тому я не можу зробити наближення обертової хвилі, щоб усунути цю залежність від часу. З огляду на те, що я повинен вирішити головне рівняння чисельно шляхом інтеграції, і результат кожної інтеграції за час $t$ не є достатньою інформацією для з'ясування цих помилок, і мені потрібно виконати певну роботу, щоб відновити матрицю супероператора, що діяла на векторизованій щільності матриця. тобто я подаю головне рівняння векторизованою матрицею щільності з одним записом 1 і рештою нулем, і будую матрицю подібно до такої на певний час $\tau$ . Я тут на правильному шляху (перевірка обгрунтованості)? Більш чітко, якщо $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ - векторизована (так це вектор стовпця) форма матриці щільності з одинарним записом 1 у положенні$i,j$ , при$t=0$ що еволюціонувала до часу$\tau$ , то матриця прийняти векторну форму матриці щільності від$t=0$ до$t=\tau$ задано як .$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Питання: Враховуючи цього супер-оператора який робить $\mathbf{M}$ , як я можу отримати операторів Краусса для еквівалента суми оператора M, які знаходяться в корисній формі? тобто система, про яку йде мова, - це кубіт або кютрит, а інший - кубіт або кютрит. Я хотів би мати можливість зробити операторну суму у вигляді тензорних добутків спінових матриць на кожному каналі, якщо це можливо.$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

Побічне запитання: Чи матриця a Choi?$\mathbf{M}$

Заключна примітка: Я нагородив прийняття Pinja, коли використовував папери, запропоновані Pinja. Я дав відповідь нижче, що заповнює деталі.

Я працював над дуже подібною проблемою над моєю магістерською дисертацією, в якій вивчав немарківську динаміку керованого кубіта в дисипативному середовищі. Моя зацікавленість полягала в тому, щоб перевірити, чи отримане я основне рівняння було повністю позитивним, але це лише одна сторона вашої проблеми. Питання виявилося дуже нетривіальним, якщо не буде зроблено RWA, але я зміг отримати деякі результати за допомогою Ref. [ Дж. Мод. Опт. 54, 1695 (2007) ] та використовуючи той факт, що кубіт слабко пов'язаний з навколишнім середовищем. Я бию в барабан, а також даю Реф. до статті, де я представляю деякі з цих результатів, [П. Хайка та С. Маніскалько, фіз. Преподобна А 81, 052103 (2010)] , ви можете вважати її корисною.

Посилання, наведені у відповідь на квантову механіку як процес Маркова  - зокрема он-лайн-примітки Карлтона Печера « Повністю позитивні карти, позитивні карти та форма Ліндблада » - опитують фізичні ідеї та математичні засоби, які допомагають відповісти на питання.

Ключовий момент пов'язаний з конкретним запитанням: "Як я можу отримати операторів Крауса за еквівалент суми оператора які знаходяться в корисній формі?" Для великих квантових систем, загальний супероператора М буде НЕ мати алгоритмічний пресовану форму. Більше того, уявлення Крауса є неповторними, і наскільки я не знаю (неекспертні) знання, немає загальної та ефективної процедури пошуку уявлень Крауса щодо даного М, які мають "корисну форму" (за будь-якими критеріями) наведено для форми, яка є "корисною"). Це вирішення квантової відокремленості є NP-важким говорить про те, що не існує ефективного, загального алгоритму пошуку представництва, навіть коли $M$$M$$M$$M$ чисельно подано у повному обсязі.

Щоб досягти прогресу, може бути корисним задати евристичні запитання: "Що особливого в моєму конкретному супероператорі? Чи можу я демонструвати для нього набір генераторів Lindbladian, які мають корисні властивості симетрії та / або генерують сумісні потоки стиску в просторі стану Гільберта "Чи пов'язані ці властивості Ліндбладіа з природною основою Гільберта, в якій має розрізнене факторне чи інше алгоритмічно стисливе подання?"$M$

Якщо на подібні питання можна було б ефективно відповісти, "повернувши алгоритмічний кривошип", то квантова фізика була б набагато менш цікавою темою! :)

Я думаю, що ви можете шукати, це таке: Матриця реальної щільності . Він дає вам рецепт для перетворення між різними уявленнями про операторів (у тому числі з використанням тензорної основи Пауліса). Детальний експеримент з квантовою томографією з використанням результатів представлений тут: Квантова технологічна томографія квантової трансформації Фур'є . Більш загально, Гавел також вивів алгоритми для перетворення тут до мінімальних уявлень Крауса: Процедури перетворення серед представлень Ліндблада, Крауса та Матриці квантових динамічних напівгруп .

Змінити, щоб відповісти на додаткове запитання: на жаль, ця область зазнає непослідовних позначень та конвенцій. Тим не менш, я дам вам той, який видається мені найбільш природним. Отже , дозвольте мені взяти бути операція взяття в ряди по р і складаючи їх один на одного. Тобто v е з ( | я ⟩ ⟨ J | ) = | я ⟩ ⊗ | J ⟩ , а не v е з ( | я ${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ , який був би «стовпець штабелирования» (Але! Це, звичайнозалежить від вашої конвенції про кронекеровском --- ось я беру другий індекс до «найбільш швидко змінюватися»). Давайте натомість визначимо умову "укладання стовпців" як c o l ( ρ ) . Тепер жодна з матриць, які виступають як M r o w v e c ( ρ 0 ) = v e c ( ρ t ) або${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$- матриця "Choi". Матриця Чой визначена як C = Е я , J ( 1 ⊗ | я⟩⟨J | ) М г про ш ( | я⟩⟨J | ⊗ 1 ), або,еквівалентно З = Σ я ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

Як зазначав Пінджа, документ Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) була особливо корисною. Папір детально розкривається, і я, нарешті, сів сьогодні, щоб правильно розглянути. Як приклад проблеми, я вибрав два кубіти з обмінною взаємодією, щоб перевірити це, що є мінімальною версією того, що я розглядаю. Для початку, головне рівняння задається по

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

Якщо ми маємо справу з головним рівнянням як матрицею, що діє на векторизований оператор густини, як обговорювалося в питанні, то це можна виразити як

що дозволяє вивести L в єдиному матричному рівнянні, але це трохи відходить від теми.

$L$$F$$\phi$

$F$$S$

Нарешті, чудова частина.

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Це працює у випадку, незалежному від часу, для квитів і qutrits, як очікувалося. Мені потрібно перевірити, чи працює це у разі залежності від часу.