Автомати Büchi зі стратегією прийняття

Проблема

Нехай є автоматикою Бючі, розпізнаючи мову . Ми припускаємо , що має стратегію прийому в наступному сенсі: існує функція , які можуть бути використані для пілотних серій . Ми формалізуємо це за допомогою наступних умов: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
для всіх і , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
для всіх приймається запуск, пілотований , тобто послідовність має нескінченно багато елементів в . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Щоб виконати умови, $A$ може прийняти будь-яке слово своєї мови, не маючи нічого здогадуватися про майбутнє.

Тоді, під цими припущеннями про $A$ , чи правда, що $A$ можна визначити, лише видаляючи переходи? Іншими словами, чи завжди ми можемо вибрати наступний перехід залежно лише від поточного стану та букви? Чи є посилання на цю тему? То ж питання можна задати на ко-Büchi-автоматах, а в більш загальних випадках на автоматах паритету.

Що відомо

Ось деякі часткові результати.

По-перше, ми можемо обмежити нетерміновим вибором між станами, що мають однаковий залишковий. Дійсно, якщо - мова, прийнята від , стратегія, що приймає, не може вибрати над в якийсь момент, якщо є . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Зауважте, що інші варіанти мають значення, тому, незважаючи на інтуїцію, цього недостатньо, щоб позбутися недетермінізму. Це тому, що можна залишати ad infinitum в хорошій залишковій (тобто решта слова є залишковою), але відхилити це слово, оскільки не спостерігається нескінченна кількість штатів Бючі. У цьому головна складність проблеми: нескінченний пробіг може бути неправильним, не роблячи в якийсь момент фатальної помилки.

По- друге, проблема буде вирішена , якщо , тобто все слова приймаються . У цьому випадку ми можемо розглянути як гру Büchi, де Гравець I вибирає вхідні літери, а Player II вибирає переходи. Тоді ми можемо використовувати позиційну рішучість ігор Büchi для вилучення позиційної стратегії для гравця II. Цей аргумент працює навіть у більш загальному випадку автоматики паритетності. Складність цієї проблеми пов'язана з тим, що деякі слова не містяться в , і в цьому випадку стратегія може мати будь-яку поведінку. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

В- третіх, тут є доказом того, що в умовах, мова в класі детермінованих мов Бучі, засвідчено автомата з станами . Зверніть увагу, що це означає, що не може бути будь-якою -регулярною мовою, наприклад, якщо , жодна стратегія відповідає умовам, не може існувати. $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Почнемо з обмеження переходів відповідно до першого зауваження: єдиний вибір, який ми можемо зробити, не впливає на залишкову мову. Ми приймаємо лише наступників з максимальним залишком, вони повинні існувати, тому що існує. $\sigma$

Тоді ми будуємо наступним чином. - це підмножина автомата , але кожного разу, коли в компоненті з'являється стан Büchi , всі інші стани можуть бути видалені з компонента, і ми починаємо знову з сингл . Тоді ми можемо встановити . Можна перевірити , що є детермінованим Бюх автоматом для . $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

Нарешті, склавши друге і третє зауваження, ми завжди можемо отримати скінченну стратегію пам'яті , використовуючи позиційну стратегію для гравця II у грі де Гравець, який я вибирає літери, Гравець II вибирає переходи в і виграє, якщо приймає, коли приймає. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Денис
джерело

Напишіть

для (детермінованого) автомата з вилученими переходами. Нехай

слово в

. Тоді за вашими умовами

є пробігом

і приймає, таким чином

. І навпаки, будь-який приймаючий цикл

, зокрема, є приймальним циклом

, таким чином,

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@Sylvain: Які переходи видалено?

— Дейв Кларк

Я припускаю, що ви називаєте

автоматом

обмежений переходами, які використовуються в стратегії

. Проблема полягає в тому, що у вас немає жодної гарантії того, що

детермінований. Наприклад, припустимо, що

, тоді

не є детермінованим.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Денис

Я також розміщую його на mathOverflow, з більш детальною інформацією про попередню роботу тут: mathoverflow.net/questions/97007/… , це нормально?

— Денис

Зазвичай перехресне повідомлення не допускається, якщо тільки людина не отримала відповідь через достатню кількість часу. З огляду на те, що в цьому питанні є відкрита винагорода, я б зачекав кілька днів. Ви можете видалити іншу публікацію та відкрити її через кілька днів. (Також інша публікація повинна посилатися на цю.)

— Дейв Кларк

Виявляється, відповідь "ні", деякі зустрічні приклади можна знайти в цій роботі .

— Денис
джерело

THX для оновлення, але розпливчасто! яка команда? вони публікували? плануєте? як ти почув? як вони його знайшли? є причина, яку вони шукали? це теоретична цікавість чи пов'язана з якоюсь більшою проблемою чи застосуванням? тощо

— vzn

дивіться цю відповідь для більш детальної інформації: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Денис

-1

Як ви вказали, недетерміновані та детерміновані автомати Buchi приймають різні мови. Найвідоміша "детермінація" для автомата Buchi дана Safra (пошук "будівництво Safra" в Інтернеті. Ось один документ, який виходить: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . Процедура є досить складною і передбачає перетворення заданого автомата Бучі на детермінований автомат Рабіна (маючи "прийняття" станів F та "відхилення" станів G: \ sigma має лише кінцево багато станів у G). Побудова Safra передбачає набагато більше, ніж просто усунення переходів та / або звичайна побудова підмножини.

— Sudeep
джерело

σ

$\sigma$