Складність оптимізації над унітарною групою

Яка обчислювальна складність оптимізації різних функцій над унітарною групою ? $\mathcal{U}(n)$

Типова задача, яка виникає часто в квантової теорії інформації, було б максимізувати кількість типу (або вище многочленів порядку в ) за всіма унітарні матриці . Чи ефективно цей метод (можливо, приблизно) обчислювальний тип оптимізації, чи це важко? (можливо, це добре відомо, але я не зміг знайти жодних загальних посилань) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Марцін Котовський
джерело

ви добре обмежуєте "різні функції" "поліномами над одиницями"?

— Артем Казнатчеєв

Я мало знаю про те, як виникають ці проблеми, але який би був природний класичний аналог цієї проблеми? Чи знаєте ви складність цієї проблеми?

— Робін Котарі

Існує дуже приємний документ Роджера Брокетта з 1991 року, який показує, як виражати сортування та лінійне програмування в основному формі, яку ви описуєте, але над ортогональними матрицями. Хоча жодна згадка про складність, але той факт, що дві дуже різні проблеми можна виразити однаково, означає, що вам потрібно знати щось про структуру проблеми, щоб визначити складність: eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Суреш Венкат

@Artem: так, на практиці найпопулярнішими є поліноми низьких ступенів.

— Марцін Котовський

Це зводиться до власних декомпозицій

у прикладі ступеня 2, який ви наводите. Для герміціана

, унітарна

може бути використана для максимізації сліду за рахунок вирівнювання власних просторів

відповідності з розмірами

; Тоді достатньо максимізувати крапковий добуток послідовностей їх власних значень, що є тривіальним, якщо

є позитивними напівдефінітами (і випадок, до якого ми можемо зменшити, додавши кратні тотожності до перерахування власних значень). Або вас цікавлять набагато більш загальні випадки, не обов'язково мотивовані квантовою механікою на маломірних системах?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Ніль де Бодорап

Відповіді:

Вибачте, я запізнився! У теорії квантових обчислень є чимало прикладів задач оптимізації для унітарної групи, які, на диво (принаймні, для мене), вирішуються в (класичний) поліном час шляхом зведення до напіввизначеного програмування.

Ось ранній приклад: вирішення шахтної задачі з 2000 року, у 2003 році Барнум, Сакс і Сегеді показали, що Q (f), складність квантового запиту булевої функції f: {0,1} ⁿ → {0,1 }, можна обчислити в многочлени за часом у 2 ⁿ (тобто розмір таблиці істинності f). Я думав про це, але не міг зрозуміти, як це зробити, оскільки потрібно оптимізувати ймовірність успіху для всіх можливих алгоритмів квантового запиту, кожен з яких має власний набір (можливо, 2 ^n- розмірних) унітарних матриць. Barnum та ін. зводиться до СДП, використовуючи "подвійність" між унітарними матрицями та позитивними півдефінітними матрицями, так званий ізоморфізм Чой-Яміолковського. Більш свіжий і простий СДП, що характеризує Q (f), дивіться у статті Рейхардта за 2010 рік, де показано, що метод протидії негативному вазі є оптимальним.

Ще один важливий випадок, коли цей трюк був використаний - це квантові інтерактивні системи доказування. Хоча це не зрозуміло інтуїтивно, у 2000 році Кітаєв і Watrous довели, що QIP ⊆ EXP. шляхом зменшення проблеми оптимізації над унітарними матрицями розміру експоненціальної форми, які виникають у 3-х круглої квантовій інтерактивній системі доказування, до вирішення СДП в розмірі одноекспонентного розміру (я знову думаю, використовуючи ізоморфізм Чоя-Яміолковського між змішаними станами та унітарні матриці). Нещодавній прорив QIP = PSPACE відбувся з того, що показав, що конкретний SDP може бути приблизно вирішений ще краще в NC (тобто за допомогою схем глибини).

Отже, яка б конкретна ваша проблема оптимізації не стосувалась унітарної групи, я здогадуюсь, що її можна вирішити швидше, ніж ви думаєте - якщо не якимсь ще більш простим способом, то шляхом зменшення до SDP!

— Скотт Ааронсон
джерело

Шановний Скотт! Барнум, Сакс і Сегеді прямо не згадують про ізоморфізм Чой-Яміолковського, і я не розумію, як це пов'язано з їх побудовою. Не могли б ви детальніше розглянути це? Я прошу, бо намагаюся зрозуміти, чи можливий подібний результат у випадку несправних оракул.

— Йоріс

-3

Визначення еквівалентності двох матриць Адамара є повною проблемою Графічного ізоморфізму (GI). Брендон Маккей має доповідь на цю тему. Див. BD McKay, Еквівалентність Адамара через графний ізоморфізм, Дискретна математика, 27 (1979) 213-216.

— Дурсун
джерело

\pm 1

$\pm 1$