Час покриття та спектральний проміжок для оборотних випадкових прогулянок

Я шукаю теорему, яка говорить приблизно так: якщо час покриття оборотного ланцюга Маркова невеликий, то спектральний розрив великий. Тут означає спектральний зазор$1-|\lambda_2|$, тобто ми ігноруємо найменше власне значення ланцюга.

Єдиний результат, який мені вдалося знайти в цьому напрямку, - це « Межі на Часі обкладинки» , «Бродер» та «Карлін», FOCS 88. Там передбачається, що матриця переходу ланцюга є подвійно стохастичною (але не обов'язково оборотною) та аперіодичною; грубо кажучи, документ показує, що за цими припущеннями, якщо час покриття є$O(n \log n)$, тоді $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$є принаймні .$n^{-1}$

Інтуїтивно, здається, дуже правдоподібно, що якщо ви зможете швидко охопити всі вершини графіка, то час перемішування повинен бути невеликим. Зокрема, якщо ви зможете охопити всі вершини графа за $n^2$ рази, напевно, ви повинні виключати спектральний розрив, скажімо, $n^{-1000}$ ?

Однією з можливих перешкод, яка б порушила вплив між малим часом покриття та великим спектральним проміжком, є двосторонність: на двопартійному графіку ви можете мати невеликий час покриття з власним значенням $-1$ . У своєму питанні я обминаю це питання, ігноруючи найменше власне значення.

Грубо кажучи, час перемішування - це найгірший час удару з половини вершин. Час покриття - це час зупинки, коли потрапляють ВСІ підмножини вершин. Іншими словами, він завжди більший за час перемішування. Таким чином, ваш приклад не може мати час перемішування і час покриття . $n^{1000}$$n^2$

Щоб зробити цю інтуїцію точною, потрібно трохи обережно, оскільки нам потрібно співвідносити час змішування з власним значенням проміжку, брати не половину вершин, а половину нерухомого розподілу і т.д. Нічого цього не складно. Почніть з цієї роботи Ловаша та Вінклера, яка наводить вищезгадану версію часу перемішування та пов'язує її з більш стандартним часом змішування в загальній кількості. $\pi$