У чому полягає складність цієї висвітлювальної проблеми?

Редагувати: Я спершу неправильно сформулював обмеження (2), тепер воно виправлено. Я також додав більше інформації та прикладів.

З деякими колегами, вивчаючи якесь інше алгоритмічне питання, ми змогли звести нашу проблему до наступної цікавої проблеми, але ми не змогли вирішити питання про її складність. Проблема полягає в наступному.

Екземпляр: Ціле число , ціле число k < n і множина S = { { s 1 , t 1 } , ... , { s n , t n } } з n пар з множини { 1 , … , n } .$n$$k<n$$S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$$n$$\{1,\ldots,n\}$

Запитання: Чи існує набір розміром k такий, що для кожного елемента i з { 1 , … , n } : (1) якщо i < n , інтервал [ i , i + 1 ] включений у деякий інтервал [ s i , t i ] визначено парою в S ′ , і (2) принаймні один із i , i + 1$S'\subseteq S$$k$$i$$\{1,\ldots,n\}$
$i<n$$[i,i+1]$$[s_i,t_i]$$S'$
$i$$i+1$належить до якоїсь пари ? $S'$
(2) належить до деякої пари S ′ .$i$$S'$

Приклад
Набір є можливим рішенням (якщо n є парним): пара { 1 , n } забезпечує умову (1), тоді як усі інші пари забезпечують умову (2).$\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$$n$$\{1,n\}$

Зауваження
(I) Оскільки кожна пара містить рівно два елементи, щоб виконати умову (2), нам потрібно принаймні пари. BTW це означає тривіальне 2-наближення шляхом повернення цілогоS, оскільки ми припускаємо| S| ≤п.$\frac{n}{2}$$S$$|S|\leq n$

(II) Ще одним способом розгляду проблеми є розгляд драбини з ятьма сходинками (такими, як нижче ) разом із набором S з n циклів сходів. Кожному кроку драбини відповідає якийсь елемент, а кожен бічний край - проміжок [ i , i + 1 ] . Цикл, що включає етапи s , t, відповідає точно парі { s , t } : він охоплює всі послідовні інтервали між s і t , і зупиняється на s і t .$n$$S$$n$$[i,i+1]$$s,t$$\{s,t\}$$s$$t$$s$$t$
Питання полягає в тому, чи існує безліч з k циклів, з'єднання яких охоплює всі краї драбини (включаючи крок і бічні кромки).$S'\subseteq S$$k$

(III) Якщо б запитували лише умову (1), ця задача відповідала б домінуючій заданій задачі в деякому інтервальному графіку, визначеному з інтервалів заданих парами S разом з додатковими крихітними інтервалами [ i + ϵ , i + 1 - ϵ ] для кожного i в { 1 , … , n - 1 } . Ця задача класично вирішується за лінійним часом (див., Наприклад, тут ).$[s_i,t_i]$$S$$[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$$i$$\{1,\ldots, n-1\}$
Точно так само, якби хтось просто запитував умову (2), це могло б бути зведено до проблеми обкладинки ребер (вершини - це елементи, ребра - пари), яка також поліноміально-час вирішується максимальним підходом узгодження.

Тож моє запитання в назві:

Ця проблема в P? Це NP-комплект?

Будь-яке посилання на подібну проблему вітається.

Хоча це не вирішує поставлене вами питання, деякі попередні коментарі розглядають алгоритми наближення. FWIW, я думаю, що PTAS (схема багаторазового наближення) можлива з використанням динамічного програмування. Ось ідея.

З огляду на будь-який екземпляр і , побудуйте рішення наступним чином. Позначте кожну ( 1 / ϵ ) '-ву вершину. Для кожної позначеної вершини i з усіх ребер ( j , k ), які "прольотом" i (тобто, що задовольняють обмеженню (1) для i ), виберіть один край, який мінімізує j, і той, що мінімізує максимізує k . Додайте до розчину ці 2 ϵ n ребра.$\epsilon > 0$$(1/\epsilon)$$i$$(j,k)$$i$$i$$j$$k$$2 \epsilon n$

Ці ребра задовольняють обмеження типу (1) для багатьох вершин. Тим часом вони вносять краю до розчину, що є лише O ( ϵ OPT ) . Для закінчення ми знайдемо оптимальне рішення решти проблеми пошуку набору ребер, який відповідає всім обмеженням типу (1) та типу (2).$2n\epsilon$$O(\epsilon \mbox{OPT})$

Визначте "блок" вершин як набір послідовних вершин, чиї обмеження типу (1) відповідають досі доданими ребрами. Між будь-якими двома послідовними блоками є послідовність вершин, обмеження типу (1) не виконані. (Будь-яка така послідовність має довжину не більше , оскільки позначені вершини мають свій тип (1) обмеження, якими відповідають вже додані ребра.) Назвіть будь-яку таку послідовність "сусідством" двох сусідніх блоків (тому кожен блок має сусідство зліва і околиці праворуч).$1/\epsilon$

У межах кожного мікрорайону для кожної вершини в околиці кожен край, що залишає вершину, проходить відстань не більше (оскільки край не охоплює жодної позначеної вершини). Таким чином, вершина має ступінь не більше 1 / ϵ . Таким чином, кожне сусідство має максимум 1 / ϵ вершин і торкається не більше 1 / ϵ 2 ребер. Назвіть будь-яку підмножину цих країв "конфігурацією" мікрорайону. Якщо конфігурація відповідає усім обмеженням типу (1) та типу (2) для вершин у околицях, виклик конфігурації "дійсною".$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon^2$

Для кожного блоку , для кожної пари ( C i , C i + 1 ) дійсних конфігурацій двох мікрорайонів блоку, обчислюйте (у поліноміальний час, використовуючи максимальну відповідність тощо), мінімальний розмір F i ( C i , C i + 1 ) будь-якого набору S ребер (якщо такі є) таким чином, що ребра в C i ∪ S ∪ C i + 1 відповідають обмеженням типу (2) для вершин у блоці. Оскільки існує максимум 2 $i$$(C_i, C_{i+1})$$F_i(C_i,C_{i+1})$$S$$C_i\cup S \cup C_{i+1}$конфігурації, це можна зробити за полиномного часу (для фіксованих eps). $2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

Тепер ви можете вирішити вихідний екземпляр, знаходячи послідовність дійсних конфігурацій, по одному для кожного мікрорайону, що мінімізує ∑ i | Д я | + F i ( D i , D i + 1 ) , де F i є таким, як визначено в попередньому пункті. Це можна зробити, знайшовши найкоротший шлях у графіку, сформованому всіма допустимими конфігураціями, з краєм вартості | Д я | $D_1, D_2, .., D_k$$\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$F_i$ від кожної конфігурації D i для сусідства i до кожної конфігурації D i + 1 для сусідства i + 1 . (Цей графік має розмір O ( 2 1 / ϵ 2 n ) , який є O ( n ) для фіксованого ϵ .)$|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$D_i$$i$$D_{i+1}$$i+1$$O(2^{1/\epsilon^2} n)$$O(n)$$\epsilon$