Ефективне універсальне вирішення проблем?

12

Визначення «проблеми» , щоб бути алгоритм приймає натуральне число і повертає 0 або 1 , який повертає , щонайменше , однієї . Будь-яка така називається "рішенням" $A$ $1$ $n \in \mathbb{N}$ $n$ $A$

Визначте «універсальний вирішувач проблеми», який є алгоритмом приймає проблему і повертає одне з її рішень. Наприклад, може працювати, перебираючи всі натуральні числа та виконуючи його вхід до них до результату (він повинен зупинитися лише на дійсному введенні) $U$ $U$ $1$

Мені цікаво вивчити межі ефективності універсальних рішень проблем

Давши універсальний вирішувач задачі, а - позначте час, необхідний для отримання результату після прийняття входу $U$ $A$ $t(U, A)$ $U$ $A$

Універсальний вирішувач задачі називається "ефективним", коли для будь-якого універсального розв'язувача задачі маємо $U$ $V$

t (U, A) < t (V, A) + t_{V}

$t(U, A) < t(V, A) + t_V$

Тут залежить від але не залежить від $t_V$ $V$ $A$

Чи існують ефективні універсальні проблеми вирішення проблем?

EDIT: Я зрозумів, що можна змінити визначення "проблема" та "універсальний вирішувач проблем" на щось трохи більш елегантне і по суті еквівалентне. "Проблема" - це алгоритм без введення, що повертає 0 або 1 (який зупиняється). «Універсальний вирішувач проблеми» - це алгоритм, що приймає проблему і повертає її результат. Це більш-менш універсальна машина Тьюрінга

Старе визначення може бути зведене до нового визначення, оскільки, задавши проблему в старому сенсі, ми можемо побудувати задачу в новому значенні, яка просто застосовує тривіальну універсальну проблему старого сенсу до (вирішувач, описаний у тексті вище ) $A$ $B$ $A$

Нове визначення може бути зведене до старого визначення, оскільки, задавши задачу в новому значенні, ми можемо побудувати задачу в старому сенсі, яка просто обчислює і порівнює вхід на результат $B$ $A$ $B$

Тривіальним прикладом універсального розв’язування задач є новий алгоритм, який просто виконує свій вклад

cc.complexity-theory ai.artificial-intel

— Ванесса
джерело

5

Не існує ефективного універсального рішення проблеми. Інтуїтивно зрозуміло, що U має мати (майже) оптимальний час виконання для будь-якої вирішальної проблеми рішення; в той час як теорема про прискорення говорить, що існують вирішальні проблеми рішення, які не мають оптимального алгоритму (навіть не в дуже м'якому сенсі). Щоб формалізувати це:

$g$ $S$ $S \in DTIME(t)$ $S \in DTIME(t')$ $t'$ $g(t'(n)) < t(n)$

$U$ $g(n)=2^{2n}$ $A$ $S$ $A_i$ $A_i = A(i)$ $\tilde U(i)=U(A_i)$ $A$ $A_i$ $O(\log i)$ $B$ $S$ $2^{ 2 TIME(B)} < TIME(\tilde U)$ $2^{TIME(B)} < TIME(\{U(A_i)\})$

$V$ $A_i$ $B(i)$ $A(i)$ $B(i)$

$\forall c \; \exists A_i \;\; t(U, A_i) > t(V, A_i) +c$

$U$

[1] Од Голдрейх, Обчислювальна складність, Концептуальна перспектива, теорема 4.8. Розділ 4.2.1.2 також є актуальним.

— Рухола Майдоддін
джерело

Чудове рішення, THX!

— Ванесса

12

$t(U,A) < s_V t(V,A) + t_V$ $s_V$ $1$

$A$ $s_V$

— Юваль Фільм
джерело

1

U

$U$

1

s_{V}

$s_V$

V

$V$

s_{V}

$s_V$

t_{V}

$t_V$

V

$V$

1

Я не розумію, як. До речі, якби я додавав, що умова V є універсальним вирішенням задач, можна було б усунути залежний термін, застосувавши лише алгоритми, які можна довести як універсальні розв'язувачі задач

— Ванесса