Унарні мови розпізнаються за двосторонніми детермінованими лічильниками автомати

2dca (двосторонні детерміновані одноконтрастні автомати) (Petersen, 1994) може розпізнати таку одинарну мову:

П О W Е R = {0^{2^{н}} ∣ н \geq 0} .

$\begin{equation} \mathtt{POWER} = \lbrace 0^{2^n} \mid n \geq 0 \rbrace. \end{equation}$

Чи є інша нетривіальна одинарна мова, визнана 2dca?

Зауважте, що досі невідомо, чи можуть 2dca розпізнати ? $\mathtt{SQUARE} = \lbrace 0^{n^2} \mid n \geq 0 \rbrace$

ВИЗНАЧЕННЯ: 2dca - це двосторонній детермінований кінцевий автомат із лічильником. 2dca може перевірити, чи є значення лічильника нульовим чи ні, і збільшувати чи зменшувати значення лічильника на 1 на кожному кроці.

fl.formal-languages automata-theory counter-automata

— Abuzer Yakaryilmaz
джерело

Чи можете ви додати посилання на визначення 2DCA?

— Суреш Венкат

@SureshVenkat: Я додав посилання, а також визначення.

— Abuzer Yakaryilmaz

@AbuzerYakaryilmaz: для кожного фіксованого

він може розпізнати

k

$k$

{0^{k^{n}} : n \geq 0}

$\{0^{k^n} : n \geq 0\}$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi: Алгоритм

можна легко узагальнити до

, де

. Тому ці мови для мене досить тривіальні.

P O W E R

$\mathtt{POWER}$

P O W E R_{k} = {0^{k^{n}} ∣ n \geq 0}

$\mathtt{POWER_k} = \{0^{k^n} \mid n \geq 0\}$

k \geq 3

$k \geq 3$

— Abuzer Yakaryilmaz

Гм, насправді я думаю, що таким чином я просто закінчуюсь тим самим спостереженням, що вже зробив Марціо, тому нічого нового в тому, що я сказав. Мені все ж цікаво, чи потрібно нам читати кінцевий маркер більше, ніж обмежену кількість разів.

— domotorp

Відповіді:

Це лише ідея, яка мені прийшла в голову під час читання Марвіна Л. Мінського «Рекурсивна нерозв'язність проблеми тегів Поста та інших тем з теорії машин Тюрінга»; зокрема відома теорема Ia:

Теорема Ia: Ми можемо представити будь-яку часткову рекурсивну функцію програмою, що працює на двох цілих числах і використовуючи інструкції форм: (i) ADD 1 to , і перейти до ( ii) ПІДПРИЄМСТВО 1 з , якщо і переходимо до , інакше переходимо до Тобто ми можемо побудувати таку програму, яка починається з $f(n)$ $S_1$ $S_2$ $I_j$
$S_j$ $I_{j_1}$
$S_j$ $S_j \neq 0$ $I_{j_1}$ $I_{j_2}$
і і врешті-решт зупиняється на і $S_1 = 2^n$ $S_2 = 0$ $S_1 = 2^{f(n)}$ $S_2 = 0$

Якщо у вас двосторонній DFA з одним лічильником над (напів) нескінченною стрічкою, де введення подано унарі: тоді DFA може: $\$1^{2^n}000...$

прочитати одинарний вхід (і зберегти його у лічильнику);
працюйте над частиною стрічки і використовуйте відстань від с як другу лічильник. $0^\infty$ $1$

тож він може імітувати повну машину з двох лічильників Тюрінга.

Тепер, якщо у вас є рекурсивна функція яка працює в часі на стандартній машині Тьюрінга, двосторонній DFA з одним лічильником, який запускається на кінцевій стрічці $f(n)$ $T(n)$ $\$1^m\$ \;$ (де і ) можуть: $m = 2^n3^{T'(n)}$ $T'(n) \gg T(n)$

прочитати одинарний вхід (і зберегти його у лічильнику);
повернення до крайнього лівого символу;
розділіть лічильник на 3, поки лічильник не містить таким чином: перейдіть направо циклу від станів і віднімаючи 1; якщо лічильник досягає 0 у стані перейдіть до символу вліво, додаючи +1, і продовжуйте цикл поділу, інакше додайте 1 (якщо у стані ) або 2 (якщо у стані ) та перейдіть до крайнього лівого символу додаючи + 3 (тобто відновити попереднє значення лічильника, не ділиться на 3), і перейти до кроку 4; $2^n$ $q_{z_0}, q_{z_1}, q_{z_2}$ $q_{z_0}$ $q_{z_1}$ $q_{z_2}$
в цей момент лічильник містить ; $2^n$
обчисліть використовуючи простір доступний праворуч у якості другого лічильника (значення другого лічильника - відстань від крайнього лівого символу ). $2^{f(n)}$ $T'(n)$ $\$$

Отже, описане вище спеціальне кодування на вході, що дає йому достатньо місця на кінцевій стрічці, двосторонній DFA з одним лічильником та одинарним алфавітом може обчислювати кожну рекурсивну функцію.

Якщо підхід правильний, було б цікаво міркувати про те, як вибрати або коли достатньо вибрати великий непарний і кодувати вхід як , $T'(n) \gg T(n)$ $k \gg 2$ $1^m$ $m = 2^n k^n$

— Марціо Де Біасі
джерело

-1

Під нетривіальним, я припускаю, що ви маєте на увазі мову L, яку не можна прийняти 1dca. Ось, здається, така мова:

ЦЕНТР = {w | w більше {0,1} * і w = x1y для деякого x, y таке, що | x | = | y |}

Ця мова не може бути прийнята 1dca, але МОЖНА прийняти 1nca. Це може бути прийнято 2dca. Деталі залишаються як вправи.

— користувач14004
джерело

ОП просить одинарних мов (вхід подається як

)

$ 1^{n} $

$\$1^n\$$

— Marzio De Biasi