NP-важкі проблеми на деревах

Кілька проблем оптимізації, які, як відомо, є загальними для загальних графіків, тривіально вирішуються в поліноміальний час (деякі навіть у лінійному часі), коли вхідний графік є деревом. Приклади включають мінімальну кришку вершини, максимальний незалежний набір, ізоморфізм підграфа. Назвіть деякі проблеми природної оптимізації, які залишаються важкими для дерев.

Ви можете знайти "природні" та "добре відомі" приклади проблем із графіками, які важкі, навіть якщо вони обмежені на дерева з нашої стандартної довідки . Приклади:

• Інтегральний k -потік багатокомпонентності ,
• Загальне вбудоване піддерево ,
• Загальне піддерево .

(Вони формулюються як проблеми з деревами, але ви можете узагальнити їх до довільних графіків. Тоді наведені вище формулювання отримуються як особливий випадок, коли ви обмежуєте вхід до дерев.)

Більш загальний рецепт для створення проблем, які важко на деревах: Візьміть будь-який NP-важкою проблемою , пов'язаною з supersequences , суперструн , подстрок і т.д. Потім повторно інтерпретувати рядок як міченого шляху графа. Потім поставте аналогічне запитання для загальних графіків (послідовність - граф мінор, підряд - підграф). І ми знаємо, що проблема непроста навіть на деревах (і на стежках).

Існує також багато проблем, важких для зважених зірок, шляхом зменшення від заданої суми підмножини. Природним прикладом є:

• TSP з двома мандрівниками : з урахуванням граничного зваженого графіка та обмеження W , чи можна знайти дві закриті прогулянки C 1 і C 2 в G такі, що кожна прогулянка має загальну вагу не більше W , а кожен вузол G покритий на хоча б одна прогулянка?$G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Знову ж таки, легко придумати варіації теми.

Незавершеним є визначення того, чи може дерево вбудовуватися в двовимірну цілу сітку, з вершинами дерева, розміщеними на різних точках сітки, а краї дерева розміщені на краях сітки.

Див., Наприклад, Грегорі, IPL 1989 .

Проблема групового Штайнера - хороший приклад. Вхід до цієї задачі - непрямий зважений грань і k груп вершин S 1 , S 2 , … , S k . Мета - знайти дерево мінімальної ваги, яке містить принаймні одну вершину з кожної групи. Неважко помітити, що проблема Set Cover є особливим випадком, навіть коли G - зірка. Таким чином, проблему важко наблизити до коефіцієнта O ( log n ), якщо P = NP. Більше того, Гальперін та Краутгамер показали, що проблему важко наблизити в межах$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$ коефіцієнт при будь-якому фіксованому ε > 0 , якщо NP НЕ рандомізовані алгоритми час квазіполінома (див папір для точної постановки). Надеревах існує наближення O ( log 2 n ) за Гаргом, Кон'єводом та Раві.$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

Однією з найскладніших проблем дерев є проблема мінімальної пропускної здатності. Це твердий на деревах максимального ступеня 3. Також є NP-жорстким на круговій гусениці довжиною волосся 1.$NP$

Список літератури:

Майкл Р. Гарі, Рональд Л. Грехем, Девід С. Джонсон та Дональд Е. Кнут. Результати складності для мінімізації пропускної здатності. SIAM J. Appl. Математика, 34 (3): 477-495, 1978.

Буркхард Моньєн. Проблема мінімізації смуги для гусениць із довжиною волосся 3 не є повною. СИАМ Дж. Алгебраїчні дискретні методи, 7 (4): 505-512, 1986.

В. Унгер. Складність наближення проблеми пропускної здатності. У FOCS, сторінки 82–91, 1998

$G$$G$$k$$S$$k$$G$

Ця проблема є NP-жорсткою (і MAX SNP-жорсткою) на зірках [ 1 ].

[ 1 ] Гарг, Вазірані та Яннакакіс, Алгоритми первинно-подвійного наближення інтегрального потоку та мультикутів у деревах , Algorithmica, 18 (1), pp. 3-20, 1997.

Проблема пожежника останнім часом привертає неабияку увагу і є (дещо дивно) NP-важким для дерев максимального ступеня 3 . Це насправді досить природне питання, описане так:

$k$

Або варіант, теж NP-жорсткий : чи є стратегія пожежника, в якій не горить жоден лист?

Проблема, яку можна подумати, НЕ буде важкою для дерев, але це - проблема заморожування тегів у обчислювальній геометрії : коротко, проблема планування пробуджень роботів, починаючи з одного бота-пробудження, де makepan - міра вартості.

На зважених зіркових графах відомо, що це NP-важко. Однак, відкрито, чи проблема НП-важка в площині. Можна стверджувати, що твердість NP походить не від «дерева-ності», а від «довільної метрики», але зіркові графіки дають лише обмежений простір метрик ..

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

Забарвлення імперії для дерев NP-важке.

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Потік у мережі є конфліктуючим, якщо він використовує щонайменше одну дугу, що виходить на кожному вузлі. НД-твердість визначення максимального злитого потоку в дереві (діаметром 4, з дозволеними кількома раковинками) доведена в: Д. Дреллер та М. Стреллер, Ємнісні потоки злиття: Складність та алгоритми, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Проблема є NP-жорсткою (насправді, її важко визначити) лише тоді, коли всі дерева вхідних даних мають не обмежений ступінь.

Гармонійне забарвлення простого графіка - це належне вершинне забарвлення таким чином, що кожна пара кольорів з’являється разом щонайменше на одному краю. Гармонічне хроматичне число графа - це найменша кількість кольорів у гармонійному забарвленні графіка. Едвардс та МакДіармід виявили, що ця проблема пошуку гармонійного хроматичного числа є NP-повною на деревах . Насправді вони також показують, що проблема залишається NP-повною для дерев радіусу 3.

$u$$u$

Зауважте, що у пов'язаній (і більш відомій) проблемі TSP мета полягає в мінімізації максимальної, а не середньої затримки. Я думаю, що TRP взагалі вважається більш складною проблемою (насправді TSP знаходиться в P для деревних показників).

Твердість NP на деревах була показана в ситераторіях РА "Проблема мінімальної затримки є важкою для зважених дерев", ISCO 2002.

Графічний мотив - проблема NP-Complete на деревах максимального третього ступеня:

Стипендіати, Фертин, Гермелін та Віалетта, чіткі межі простежуваності для пошуку з’єднаних мотивів у кольорах вершин Лекційні записки з інформатики, 2007, том 4596/2007, 340-351

Існує (дуже загальна) проблема, яку я мав розглядати як частину проекту: варіант цієї проблеми залишається жорстким навіть на графіках з двома вершинами та одним ребром, а інший варіант - NP-жорсткий на деревах. Оскільки NP-твердість першого варіанту очевидно не випливає з форми графіка, другий, мабуть, цікавіший.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Якщо вам не потрібні всі завантаження , щоб маршрутизировать , але замість того, щоб спробувати максимізувати суму filesizes завантажених файлів , які є маршрутизацією ви можете легко зменшити підмножина-суму до цієї проблеми: у вас є один сервер з величезною кількістю простору, одиночний клієнт, підключений до сервера з краєм з ємністю, рівним цільовому значенню екземпляра підмножини підсумків, і для кожного цілого числа в екземплярі суми підмножини ви створюєте файл однакового розміру; Потім клієнт бажає завантажити всі ці файли.

Більш цікавим варіантом цього питання є той випадок, що ви намагаєтеся мінімізувати кількість ребер, ємність яких перевищена - можливо, мережа, над якою ми працюємо за моделями трансатлантичних інтернет-кабелів та заміна кабелю, така дорога, що різниця у вартості оновлення до коефіцієнта два швидше, а оновлення до коефіцієнта три швидше - незначне. Ми також кажемо, що місця розміщення файлів на серверах вже задані і їх неможливо змінити, тому ми розглядаємо виключно проблеми маршрутизації.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

Ідея полягає в тому, що клієнту потрібні файли, унікальні для всіх серверних кластерів, тому краї, що з'єднують клієнта з серверними кластерами, вже знаходяться на межі їх потужностей (їх ємність - 1, файли мають розмір 1). Якщо клієнт завантажує будь-які елементи Всесвіту з будь-якого кластера, край, що з'єднується з цим кластером, перевантажується. Оскільки нам потрібно лише мінімізувати кількістьперевантажень (а не на скільки ми перевищуємо потужності), клієнт може завантажувати решту елементів всесвіту, розміщених на цьому серверному кластері (так, решта елементів відповідного підмножини) без штрафних санкцій. Отже, це відповідає вибраному підмножині. Клієнт хоче завантажити всі файли у Всесвіті один раз, тому Всесвіт дійсно буде охоплено, і щоб мінімізувати кількість перевантажених країв, нам потрібно мінімізувати кількість обраних підмножин.

Зауважте, що вищезгадана конструкція дає графік дерева, тому це є прикладом важких для NP проблем.

Проблема нерозбірливого потоку. Насправді UFP важкий навіть на одному краю (Рюкзак).

$G(V, E)$$NP$

Формально проблема полягає в:

ІЗОМОРФІЗМ ДІЛОВИЙ ГРАФ

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

У стовпці NP-повноти цитується неопублікований рукопис Грема і Робінсона, "Ізоморфна факторизація IX: навіть дерева".

DS Johnson, стовпець NP-повноти: постійний посібник, Journal of Algorithms 3 (1982), 288–300

Я якось пропустив проблему Achromatic Number в останній відповіді, але це одна з найприродніших проблем, про які я знаю, які є NP-завершеними на деревах.

Повне забарвлення графіка - це належне забарвлення, щоб між кожною парою кольорових класів була грань. Забарвлення можна констатувати на відміну від гармонійного забарвлення, як належне забарвлення таким чином, що кожна пара кольорів з’являється щонайменше на одному краю. Крім того, це можна констатувати як повний (або повний) гомоморфізм клиці. Проблема Achromatic Number - це проблема максимізації , де ми шукаємо найбільшу кількість кольорових класів у повному забарвленні графіка.

Яннакакіс і Гравіл довели, що ця проблема є складною NP для доповнення двоканальних графіків . Керні та Едвардс розширили цей результат і показали, що на деревах проблема неповна .

Над цією проблемою було зроблено велику роботу в галузі алгоритмів апроксимації [ 3 , 4 , 5 ].

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Чи є схема САТ на деревах NPC ?. Внутрішні вершини дерева позначені як ворота АБО / І. Листя - вхідні дані. Визначте, чи є задовольняючий набір входів для схеми, що оцінюється на Істинне.

$2^k - 1$