Точна кількість порівнянь для обчислення медіани

Том III з Кнута Мистецтво програмування (глава 5, вірш 3.2) включає в себе наступну таблицю лістингу точне мінімальну кількість порівнянь необхідно вибрати $t$ - й найменший елемент з несортованих набору розміру $n$ , для всіх $1\le t \le n\le 10$ . Ця таблиця разом з добре відомими виразами закритої форми $V_1(n) = n-1$ і , являє собоюбільшучастину сучасної технікистаном на 1976 рік. $V_2(n) = n - 2 + \lceil n/2 \rceil$

Таблиця з Knuth III: 5.3.2

Чи були обчислені більш точні значення за останні 36 років? Мене особливо цікавлять точні значення , мінімальна кількість порівнянь, необхідних для обчислення медіани. $V_t(n)$ $M(n) = V_{\lceil n/2 \rceil}(n)$

Як зазначає @ MarkusBläser, таблиця Кнута, здається, вже містить новіші результати Білла Гашара, Уейна Келлі та Білла П'ю ( Знаходження i-го найбільшого з n для малого i, п . SIGACT News 27 (2): 88-96, 1996 .)

— Джефф
джерело

На мою думку, найвідоміший документ на цю тему - це Пратт і Яо (1976), яким приписують, що серед перших знайшли якусь (змагальну) техніку для доведення нижчих меж цієї проблеми. Якби я знайшов останні статті з цього приводу, я би дотримувався цитат, зроблених до цього документу . Найновіший документ - це Дор і Цвік, але є також опитування Патерсона 1996 року (хоча я не дивився, чи стосується він точних результатів чи ні).

— Jérémie

Нитчіпкінг: В останньому реченні у питанні ви, мабуть, мали на увазі стелю замість підлоги.

— Цуйосі Іто

Джеффе, цікаво, чому тебе цікавить точна відповідь.

— Чандра Чекурі

Кеннет Оксанен написав ефективний код для обчислення

. На жаль, існує лише абстрактний доступний sciencedirect.com/science/article/pii/S1571065306001582 Два роки тому один з моїх студентів надіслав йому електронний лист і отримав від нього код. Я не пам’ятаю, чи можна було отримати якісь нові значення.

V_{i} (n)

$V_i(n)$

— Маркус Блазер

@ChandraChekuri: Я розмовляю з варіантами алгоритму лінійного вибору лінійного часу Blum-Floyd-Pratt-Rivest-Tarjan як потенційного алгоритму домашнього завдання з алгоритмами. Якщо ми використовуємо алгоритм мінімального порівняння для пошуку медіани у кожному блоці, то який розмір блоку дає нам найкращу константу у великому-О? 9 краще, ніж 7, краще 5; що з 11?

— Jeffε

$n=15$

Кеннет Оксанен межі на вибір

Дякуємо @ MarkusBläser за головну роль!

— Джефф
джерело

Цікаво, чи може ця інформація вам стати в нагоді. На жаль, він не надає ніякої додаткової інформації на питання цієї публікації, але, скоріше, відповідає на ваш коментар про те, для чого це було (аналізуючи варіанти QuickSelect).

$v(n,t)$ $v_t(n)$

v_{t} (n) = n + min (t, n - t) + l.o.t. .

$v_t(n)=n+\min(t,n-t)+\text{l.o.t.}.$

Цей результат нечасто використовується, і, зокрема, є основою для алгоритмів у "Адаптивній вибірці для швидкого вибору" Мартінеса, Панаріо та Віоли . Вихідною точкою статті є QuickSelect медіани-три, а потім запитати: чи доречно систематично вибирати медіану, коли елемент, який ми шукаємо, має відносний ранг, значно нижчий n / 2 або набагато вище n / 2 ?

$k$ $n$ $m$ $m/2$ $\alpha m$ $\alpha = k/n$ $m$

— Jérémie
джерело