Події з високою ймовірністю без низьких координат

Дозволяє $X$ бути випадковою змінною, що приймає значення в $\Sigma^n$ (для деяких великих алфавітів $\Sigma$), що має дуже високу ентропію - скажімо, $H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$ для довільно малої константи $\delta$. Дозволяє$E \subseteq \rm{Supp}(X)$ бути подією на підтримку $X$ такий як $\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$, де $\varepsilon$ - довільно мала константа.

Будемо говорити , що пара є низька ймовірність координат в , якщо . Ми говоримо, що рядок містить низьку ймовірнісну координату якщо є низькою ймовірнісною координатою для деяких .$(i,\sigma)$$E$$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$$x \in \Sigma^n$ $E$$(i, x_i)$$E$$i$

Загалом, деякі рядки в можуть містити низькі координати імовірнісних . Питання полягає в тому, чи завжди ми можемо знайти подію високої ймовірності такою, що жодна рядок у містить координати низької ймовірності (а не ).$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

Дякую!

Ось приклад, що доповнює відповідь Гаррі Юена. Для зустрічного прикладу достатньо визначити відповідні і показати, що будь-яка велика підмножина повинна мати низьку координату ймовірності - низька ймовірність координати обов'язково має низьку ймовірність co -ординат .$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

Також я проігнорую умову ентропії - додавання незалежних рівномірно розподілених випадкових змінних до (а прийняття до ) збільшитьмайже до не впливаючи на те, чи існує такий (я все ще не ретельно перевіряв це)$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

Ось приклад. Нехай є випадковим елементом таким, що кожен вектор з масою Хеммінга (тобто вектори форми ) має ймовірність і вектор має ймовірність . Нехай - множина векторів із вагою Хеммінга .$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

Розглянемо підмножину . Якщо не порожній, він містить вектор ваги Хеммінга , скажімо, без втрати загальності. Але , що менше, ніж якщо дорівнює про .$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Як порівнюється з ? Якщо може бути , я думаю, ми можемо досягти того, що ви хочете. Нехай . Зверніть увагу , що дається ймовірнісної маси під . Нехай позначає масу ймовірності, присвоєну рядкам у таким чином, що - координата має символ .$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

Нехай були низька ймовірність координат для деяких рядків в . Нехай позначає масу ймовірності, присвоєну цим рядкам. Тоді за визначенням , маючи на увазі, що . Ми можемо відкинути ці рядки з низькою ймовірністю, лише зазнаючи втрати в задачі. маса на .$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

Продовжуйте робити це для всіх можливих поганих , і врешті-решт ми відкидаємо лише максимум . Для цього використовується той факт, що для всіх , .$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

Якщо ви хотіли, щоб мав вірогідність маси , то повинен бути таким, що , або що достатньо.$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

На даний момент мені незрозуміло, чи можна позбутися цієї залежності від ; Я продовжуватиму думати про це.$n$