Одностороння квантова верифікація

Теорія обчислень стану кластерів на сьогодні вже добре встановлена, показуючи, що будь-яка схема BQP може бути модифікована, тому вона використовує лише одноквадрові квантові ворота, можливо, класично керовані, за умови достатнього постачання стану, відомого як "стан кластера" - який це простий у виробництві стабілізатор стан.

Моє запитання: чи відоме подібне поняття для квантової перевірки - тобто чи можна замінити схеми QMA класично керованими 1-кубітними воротами, можливо, використовуючи якийсь "спеціальний стан"? Принаймні спочатку мені незрозуміло, чому стан кластера може працювати навіть у цьому випадку.

quantum-computing

— Ліор Ельдар
джерело

Якщо я правильно розумію, чи проблема в тому, що в QMA Мерлін передає вам квантовий доказ того, що вам потрібно якось включитись у модель? Іншими словами, якщо це був QCMA замість QMA, де Мерлін просто вручає вам класичну струну, то ми могли б просто використовувати відомі результати для BQP, правда?

— Робін Котарі

Так, це правильно. Дякую, що зробили цю відзнаку.

— Ліор Ельдар

Для початку можна поставити те саме запитання для BQP: Чи можемо ми виконати будь-які квантові обчислення, що дають змогу проводити вимірювання 1-кубіту, і даючи запас ненадійних кластерних станів (або якийсь інший відповідний стан)?

— Норберт Шуч

Відповіді:

Можна обмежити перевіряльник QMA одновимірними вимірюваннями та класичними до- і післяпроцесовими (з випадковістю), зберігаючи повноту QMA.

Щоб зрозуміти чому, візьміть будь-який клас -локальних гамільтоніян, повних QMA, на кубітах. Додавши константу порядку і змінивши масштаб з коефіцієнтом , гамільтоніан можна привести у форму де , , а $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

, де

- добуток Пауліса. Оцінка найменшого власного значення

до точності

все ще є важкою QMA.

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

Тепер ми можемо побудувати схему, яка використовує лише одноквадратні вимірювання, які з урахуванням стану , приймає з ймовірністю (який з побудови знаходиться між і ). Для цього спочатку випадковим чином виберіть одне з , відповідно до розподілу . Потім вимірюють кожен з Paulis в , і взяти на парність з результатів, які в даний час пов'язані з $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ через Тепер схема виводить, а вихідний тому розподіляєтьсявідповідності з.

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

$|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$ розрив. Нарешті, цю версію QMA можна посилити, використовуючи лише звичайні методи посилення для QMA, що, нарешті, доводить, що вона є повною QMA незалежно від зазору (у тому ж діапазоні, що і QMA).

— Норберт Шух
джерело

H

$H$

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

h_{i}

$h_i$

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— Норберт Шуч

Моя інтерпретація запитання полягає в тому, що ви ставите запитання, чи можемо ми вважати, що верифікатор верифікатора для протоколу QMA використовує лише одноквітні вимірювання? (Ідея полягає в тому, що доказчик надсилає вам як квантовий доказ, так і стан квантового кластера, необхідний для реалізації оригінальної схеми верифікації "односторонніми квантовими обчисленнями".)

Проблема, звичайно, полягає в тому, що довідник може взагалі не надсилати вам дійсний стан кластера. Тому перевіряючий повинен перевірити отриманий стан, щоб переконатися, що він справді є кластерним станом. Верифікатор робить це, роблячи одноквітні вимірювання та перевіряючи, чи співвідношення задовольняє необхідним контролем стабілізатора. Оскільки таке тестування є руйнівним для штату, потрібно було б встановити процедуру, коли перевіряючий надає багато копій стану, перевіряє більшість із них і використовує випадкові для обчислення. Чи вистачає поліноміально багатьох примірників?

Я не думаю, що це відома теорема. Я не бачу очевидного контрприкладу (з хвилиною думки), тому це може бути правдоподібно. Відома технологія підтвердження тестових станів здається, що її слід перевірити. Наприклад, див. Статтю Меттью МакКаґе arXiv: 1010.1989 [Quant-ph]. Якщо ви отримаєте підтвердження роботи, надішліть папір до QIP (термін 5 жовтня)!

— Анонімний
джерело

Можливо, я нерозумію це питання. Якщо ви запитуєте, чи можете ви реалізувати схему верифікатора для проблеми в QMA, використовуючи обчислення на основі вимірювання, де Merlin постачає вхідний шар, а Артур постачає всі подальші кубіти в стані ресурсу і заплутує обидва набори кубітів до початку вимірювань, тоді відповідь тривіально так. Це випливає безпосередньо з того факту, що будь-який квантовий контур може бути реалізований як обчислення на основі вимірювання, незалежно від того, чи вам важливо класичне чи квантове введення.

Ви помітите, що в більшості праць на сайтах обчислень на основі вимірювань зазвичай ідентифікуються окремо від інших сайтів, і саме тому (тобто конкретно для розгляду справи з квантовим введенням).

— Джо Фіцсімонс
джерело

Насправді мені в цьому питанні незрозуміло. У роботах обчислень на основі вимірювань, які я розглянув, перетворення відбувається з будь-якої схеми BQP з класичним входом, в односторонню обчислювальну ланцюг, починаючи з стану кластера. Тобто, скажімо, НЕ описується як перетворення, що приймає будь-яку довільну унітарну ланцюг U в ланцюг, заснований на вимірюванні U_1, незалежно від входу. Хоча питання про складність, яке я задав, зараз вирішується після відповіді Норберта, я все одно хотів би зрозуміти цей момент.

— Ліор Ельдар

@LiorEldar: Тоді слід переглянути оригінальний папір Рауссендорфа та Брігеля або Рауссендорф, Браун та Брігель. Вони явно будують схеми по одному затвору, показуючи, що кожна схема вимірювання реалізує заданий затвор на вхідному шарі, який може перебувати у довільному стані. Ви, безумовно, можете реалізувати довільні схеми на довільних входах.

— Джо Фіцсімонс

Ліор був насправді тут, в Ахені, коли ми обговорювали це, і один із способів зрозуміти питання ґрунтується на цій ідеї: Чи міг Мерлін надати доказ, вбудований у стан непідтвердженого кластеру, і Артур використовує свої одноквартирні вимірювання для того, щоб перевірити кластер або перевірити доказ за допомогою MBQC? (Можливо, можна використати подібні ідеї, як у сліпих комп., Де використовується виправлення помилок?) На жаль, не потрібна ця приємна ідея, щоб довести твердість QMA. ;-( Однак я вважаю, що все-таки цікаве питання зрозуміти, чи спрацює це, і ви будете експертом, щоб показати це :-)

— Норберт Шух

@Lior: Якщо ви хочете використовувати MBQC для перевірки введення, вам, звичайно, також потрібно встановити 2-кубітні ворота на додаток до однокібітних вимірювань (оскільки вам потрібно заплутати вхід зі станом кластера).

— Норберт Шуч

@Joe: BTW, те саме питання для BQP (чи можемо ми запустити BQP за допомогою 1-кубітних вимірювань, використовуючи ненадійний стан кластера), звичайно, все ще залишається відкритим, і мені здається, що ідеї, що використовуються в сліпих обчисленнях, можуть бути дорогою. .

— Норберт Шуч