Складність простору для обчислення оптимального вирівнювання рядків для відстані редагування Левенштейна

12

Якщо нам дано два рядки розміром і , то стандартний обчислення відстані редагування Левенштейна здійснюється за допомогою динамічного алгоритму з часовою складністю і складністю простору . (Деякі вдосконалення можуть бути внесені як функція відстані редагування , але ми не робимо припущення щодо $n_1$ $n_2$ $O(n_1 n_2)$ $O(n_1 n_2)$ $d$ $d$ особливо мало.) Якщо вас цікавить лише значення відстані редагування (тобто мінімальна кількість редагувань), добре відоме вдосконалення звичайного алгоритму (де ви зберігаєте лише попередній та поточний ряд таблиці таблиці вирівнювання ) зменшує складність простору до . $O(\max(n_1, n_2))$

Однак, якщо ви хочете отримати фактичні зміни оптимального сценарію редагування, чи можна краще використовувати використання пам'яті, можливо за рахунок часу роботи? $O(n_1 n_2)$

— a3nm
джерело

15

$O(nm)$ $O(n+m)$

Інтуїтивно зрозуміла ідея Гіршберга - обчислити одну операцію редагування на півдорозі через оптимальну послідовність редагування, а потім рекурсивно обчислити дві половини послідовності. Якщо ми розглядаємо оптимальну послідовність редагування як шлях від одного кута таблиці запам'ятовування до іншого, нам потрібен модифікований повтор, щоб записати, де цей шлях перетинає середній рядок таблиці. Один з рецидивів, який працює, полягає в наступному:

Н а л f (i, j) = {\begin{cases} \infty & якщо i < м / 2 \\ j & якщо i = м / 2 \\ Н а л f (i - 1, j) & якщо i > м / 2 і Е г i т (i, j) = Е г i т (i - 1, j) + 1 \\ Н а л f (i, j - 1) & якщо i > м / 2 і Е г i т (i, j) = Е г i т (i, j - 1) + 1 \\ Н а л f (i - 1, j - 1) & інакше \end{cases}

$Half(i,j) = \begin{cases} \infty & \text{if $i<m/2$}\\ j & \text{if $i=m/2$}\\ Half(i-1,j) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i-1,j)+1$}\\ Half(i,j-1) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i,j-1)+1$}\\ Half(i-1,j-1) & \text{otherwise} \end{cases}$

$Half(i,j)$ $Edit(i,j)$ $O(mn)$ $Edit(m,n)$ $Half(m,n)$ $O(m+n)$

введіть тут опис зображення

$A[1..m]$ $B[1..n]$ $A[1 .. m/2]$ $B[1 .. Half(m, n)]$ $A[m/2 + 1 .. m]$ $B[Half(m, n) + 1 .. n]$

Т (м, н) = {\begin{cases} О (н) & якщо м \leq 1 \\ О (м) & якщо н \leq 1 \\ О (м н) + \underset{год}{макс} (Т (м / 2, год) + Т (м / 2, н - год)) & інакше \end{cases}

$T(m,n) = \begin{cases} O(n) & \text{if $m\le 1$}\\ O(m) & \text{if $n\le 1$}\\ O(mn) + \max_h \left( T(m/2,h) + T (m/2, n−h)\right) & \text{otherwise} \end{cases}$

T (m, n) = O (m n)

$T(m,n) = O(mn)$

O (m + n)

$O(m+n)$

— Джефф
джерело

5

Тому що я пропустив це, коли Дан попросив мене на моєму іспиті, саме тому.

— Jeffε

я пам’ятаю, що це було як (керована) вправа і думав, що це досить круто

— Сашо Ніколов

3

$O(n_1 + n_2)$ $O(n_1 + n_2)$ $O(n_1n_2)$ $O(n_1+n_2)$

— Юваль Фільм
джерело