Підрахунок забарвлень сітки, які уникають певних особливостей

-розмальовка з сітки є функція . Зламаний прямокутник в є кортежем , що задовольняють - тобто рівно три кути прямокутника однакового кольору.$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Мене цікавить наступне питання:

Як функція , скільки -кольорів існує (для сіток будь-якого розміру), які уникають повторюваних рядків, дублюючих стовпців та зламаних прямокутників?$k$$k$

Поки я знаю, що відповідь кінцева, і найкраща верхня межа, яку я можу довести, - (див. Нижче).$k^{(1.5 k!)^2}$

Я також лише зазначу, що це інше питання, ніж те, про яке Гашар говорив часто у своєму блозі (і в цій статті ). Він хоче уникати всіх монохроматичних прямокутників, тоді як я не заперечую проти однотонних прямокутників, я хочу уникати саме «зламаних».

Яка мотивація? У криптографії, ми розглянемо проблему Аліси (який має ) і Боб (який має ) як навчання для узгодженої функції , таким чином , що вони вчаться не більше . Ви можете природним чином асоціювати з двовимірною таблицею, отже, забарвленням сітки. Існують характеристики для такої проблеми наступної форми (але з різними позначеннями): " має якусь криптографічно цікаву властивість тоді і лише тоді, коли містить зламаний прямокутник". Наприклад, див. Kilian91 та BeimelMalkinMicali99 .$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

Тож ця проблема з'явилася в деяких криптографічних умовах, які я досліджував. Для моїх цілей було достатньо знати, що існує кінцева кількість забарвлень сітки, які уникають зламаних прямокутників та дублювання рядків / стовпців. Але я вважав, що комбінаторна проблема сама по собі цікава, і я вважаю, що кращі межі повинні бути можливими.

Найкращий зв'язаний я можу довести: Визначте і ; отже. По-перше, можна довести, що якщо - забарвлення з принаймні рядками, то воно або має повторюваний рядок, або зламаний прямокутник. Симетрично можна показати те саме, що стосується стовпців. (Доказ досить базовий, випливаючи з принципу голубої свердловини на # кольорів.) З цього ми знаємо, що забарвлення, про які ми піклуємося, мають розміри менші, ніж , і ми можемо отримати дуже вільна верхня межа таких забарвлень.$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

Я думаю, що це можна покращити двома способами: По-перше, я думаю, що оптимальне значення - . Нижче наведено (рекурсивно визначене) сімейство забарвлень, де - -кольоровий розмір що дозволяє уникнути цих заборонених функцій:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

Я вважаю, що це найбільші кольори, які уникають цих заборонених структур.$k$

По-друге , навіть якщо можна було б покращити описане вище обмеження на , ми все одно маємо той факт, що є дуже грубо обмеженою для загальної кількості забарвлень. Це враховує всі можливі забарвлення сітки , велика частина яких, мабуть, має заборонені функції.$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

Якщо ви хочете межі для фіксованого (а не асимптотичного виразу / формули, яка працює для всіх ), одним із підходів може бути використання випадкової вибірки: кілька разів вибирайте випадкове забарвлення, перевіряйте, чи відповідає він вашим критеріям, і порахуйте, скільки випробування пройшли успішно. Це дає оцінку частки забарвлень, що відповідають вашим критеріям. Це можна перетворити на приблизну оцінку загальної кількості кольорів, що відповідають вашим критеріям (просто помножте на ).$k$$k$$k^{mn}$

Потім ви можете скористатись обмеженням Черноффа, щоб отримати верхню та нижню межі кількості забарвлень, що відповідають вашим критеріям, де ці межі мають вірогідність (взяті за випадкові випробування). Іншими словами, вам доведеться бути надзвичайно нещасливим у виборі випадкових випробувань, щоб ці межі були помилковими.$\ge 1-2^{-100}$