Про ентропію суми

Шукаю обмеження на ентропії суми двох незалежних дискретних випадкових величин і . Природно, Однак, застосований до суми незалежних випадкових величин Бернуллі , це дає $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

Іншими словами, пов'язана зростає лінійно з

при багаторазовому застосуванні. Однак

підтримується на наборі розміру

, тому його ентропія становить не більше

. Справді, по центральній граничній теоремі, я припускающо

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

оскільки він по суті підтримується на наборі розмірів

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Коротше кажучи, зв'язане в цій ситуації зовсім трохи перестарається. Коли я читаю цю публікацію в блозі , я збираю всілякі межі на ; чи існує межа, яка дає правильну асимптотику (або, принаймні, більш розумну асимптотику), коли її неодноразово застосовувати до суми випадкових змінних Бернуллі? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— Робінзон
джерело

Я не впевнений, що ви насправді просите. Якщо ви хочете, щоб верхня межа H (X + Y) була з точки зору H (X) і H (Y), що застосовується до будь-яких двох незалежних дискретних випадкових величин X і Y, тоді H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) - явно найкраще, що можна отримати; розглянемо випадок, коли суми x + y всі виразні, коли х варіюється над підтримкою X, а y - діапазон, ніж підтримка Y. Якщо ви застосуєте цей загальний зв'язок до дуже особливого випадку, то, природно, ви отримаєте дуже нещільно пов'язана.

— Цуйоші Іто

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

Це означає, що те, що ви шукаєте, не є верхньою межею H (X + Y) з точки зору H (X) і H (Y) . Будь ласка, відредагуйте питання.

— Tsuyoshi Ito

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Боаз Барак
джерело

$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
джерело

Можливо, ви могли б використовувати рівняння:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Це могло б виглядати як термін, який ви згадували в коментарях, на жаль, я не знаю результатів щодо кардинальності негативних термінів або проникливих меж.

— Рік
джерело