Найбільша довжина краю жадібного гайкового ключа на рівномірно розподілених наборах точок у

Нехай - множина N точок в R d . Для будь-якого t ≥ 1 , t -spanner - це непрямий графік G = ( P , E ), зважений за евклідовою мірою, такий, що для будь-яких двох точок v , u найкоротша відстань у G , d ( v , u ) , - щонайбільше t раз евклідова відстань між v і u , | v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ (зауважте, що це визначення можна легко поширити на проміжки міри довільної міри).

Розглянемо наступний алгоритм з і t як вхідний:$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Цей алгоритм обчислює так званий жадібний гайковий ключ (або жадібний гайковий ключ). Цей графік був підданий значним дослідженням: він дає надзвичайно хороші ключі, як на практиці, так і в теорії.

Мене цікавить довжина найдовшого ребра в жадібному ключі, якщо рівномірно розподілений у [ 0 , 1 ] d (випадок, що d = 2 також добре). Я припускаю, що ця максимальна довжина становить не більше 1 / $P$$[0,1]^d$ , потенційно з деякими логічними факторами та факторамиd. Ця гіпотеза мотивована експериментальними даними.$1 / \sqrt{N}$$d$

Причина мого інтересу полягає в тому, що у мене є алгоритм, який швидко обчислює жадібний гайковий ключ, якщо довжина найдовшого краю порівняно коротка. Якщо вище сказано правильно, це означатиме, що мій алгоритм застосовний до вищевказаного сценарію, а тому потенційно корисний на практиці.

Я знайшов декілька робіт, що аналізують кількість ребер та ступінь інших типів ключів на випадково розподілених наборах точок, але жоден на довжину найдовшого ребра. Вказана теорія ймовірностей здавалася досить складною, тому я сподівався, що щось було відомо, перш ніж спробувати доказ.

У нашому документі, що сприймає чутливість до розподілу жадного гайкового ключа (прийнято до ESA 2014), ми доводимо наступне (поєднуючи теорему 4 та лему 6):

Існує залежне лише від t, таке, що для кожного c > 0 , якщо P - це набір точок, рівномірно і незалежно розподілений навмання в a $c_t$$t$$c > 0$$P$ квадрат іnдосить великий, то з ймовірністю принаймні1-nc, жадібнийt-spanner наPне має ребер довшеc⋅ctlogn.$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

Наше обмеження на досить велике, але ми маємо експериментальні докази того, що «правильна» межа дорівнює $c_t$ .$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$