Чи є властивості розподілу, які "максимально" важко перевірити?

Алгоритм тестування розподілу для властивості P розподілу (який є лише деяким підмножиною всіх розподілів за [n]) дозволений доступ до зразків відповідно до деякого розподілу D, і він повинен вирішити (whp), якщо або ( зазвичай це відстань ). Найпоширеніший показник складності - кількість зразків, використовуваних алгоритмом. $D\in P$ $d(D,P)>\epsilon$ $d$ $\ell_1$

Тепер, у стандартному тестуванні властивостей, де ви маєте доступ до запиту до якогось об'єкта, лінійна нижня межа складності запиту, очевидно, є найсильнішою нижньою межею, оскільки запитів дозволить виявити весь об'єкт. Це стосується і тестування на розподіл? $n$

Наскільки я розумію, "тривіальна" верхня межа для тестування властивостей розподілів - --- за межами Черноффа, цього достатньо, щоб "записати" розподіл D ', близький до D в відстань, і тоді ми можемо просто перевірити , якщо є якісь - або розподіл , близькі до D » , які знаходяться в P (це може зайняти нескінченний час, але це не має ніякого відношення до зразка складності). $O(n^2\log n)$ $\ell_1$

Чи є кращий "тривіальний" тест для всіх властивостей розподілу?
Чи є властивості розподілу, для яких ми знаємо вибірки нижчих меж, сильніших за лінійні?

— Йонатан
джерело

здається подібним до доказу поділу класів складності і як це може бути близьким до якоїсь відомої відкритої проблеми ...?

— vzn

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

n

$n$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ε

$\varepsilon$

2 / 3

$2/3$

O (n / ε^{2})

$O(n/\varepsilon^2)$

ε

$\varepsilon$

ω (n)

$\omega(n)$

— Климент К.

Вибачте за те, що знайшов цю посаду - вона досить стара, але я подумав, що відповідь на неї може бути не такою поганою ідеєю.

$\ell_1$ $\frac{\varepsilon}{2}$ $p'$ $\mathcal{P}_n$ $\frac{\varepsilon}{2}$ $\hat{p}$ $O\big(\frac{n\log n}{\varepsilon^2}\big)$ $n$ $\varepsilon$ $O(\frac{n}{\varepsilon^2})$

$O(\frac{n}{\varepsilon^2})$ $n$ $\varepsilon$ $n$

$1/10$ $\Theta_\varepsilon(\frac{n}{\log n})$

(Зауважте, що це трохи "обман", в тому сенсі, що властивість - це просто спосіб прийняти терпиме тестувальне запитання і відновити його як тестування спеціального властивості).

$k$ $k$ $k=n/10$ $\Omega(\frac{n}{\log n})$ $\frac{n}{100}$

— Климент С.
джерело