Яка складність упаковки прямокутника, коли дозволені обертання?

У задачі прямокутника упаковки, один отримують набір прямокутників і обмежує прямокутник . Завдання - знайти розміщення всередині таким чином, щоб жоден з прямокутників не перекривався. Як правило, орієнтація кожного прямокутника фіксована. Тобто прямокутники не можна обертати. У цьому випадку, як відомо, проблема є NP-повною (див., Наприклад, Korp 2003 ).R r 1 , … , r n R n r $\{r_1,\dots,r_n\}$$R$$r_1,\ldots,r_n$$R$$n$$r_i$

Яка складність проблеми пакування прямокутника, якщо прямокутники можна повертати на градусів?$90$

Інтуїтивно зрозуміло, що дозволити обертання слід лише ускладнити проблему, оскільки спочатку слід вибрати орієнтацію для кожного прямокутника, а потім вирішити проблему пакування без обертання. Але доказ твердості NP у випадку без обертання - це зменшення від упаковки у контейнер і, здається, критично залежить від фіксованої орієнтації кожного прямокутника для побудови бункерів. Я не зміг знайти відповідний доказ твердості NP для випадку, коли дозволено обертання.

Ми можемо зменшити проблему упаковки без обертання до проблеми упаковки, дозволеної обертанням, наступним чином. Візьміть будь-який примірник проблеми без обертання. Вертикально масштабувати весь екземпляр з подвоєною ставленням найменшою ширини будь-якого прямокутника г я поділене на висоту контейнера прямокутника R . (Це співвідношення має поліноміальне число біт, тому перетворення може бути виконане в поліноміальний час.) Кожен масштабований прямокутник r $(R, r_1, r_2, \dots, r_n)$$r_i$$R$ вписується всередину масштабованого контейнера R ' лише в оригінальній орієнтації, тому дозволяючи обертанням не додавати нових рішень.$r'\!\!_i$$R'$