Орієнтовна проблема підрахунку захоплення BQP

У моделі чорної скриньки задача визначення виходу машини BPP на вході - це приблизна проблема підрахунку визначення з помилкою добавки 1/3 (скажімо) . $M(x,r)$ $x$ $E_r M(x,r)$

Чи є аналогічна проблема для BQP? Цей коментар Кена Регана говорить про таку проблему

Ви можете звести питання щодо BPP до наближення до однієї функції #P, але при отриманні BQP ви отримаєте різницю двох функцій #P, назвіть їх і . Наближення і окремо не допоможе вам наблизити коли майже до нуля! $f$ $g$ $f$ $g$ $f - g$ $f - g$

BQP дає вам невелику допомогу: Коли відповідь на запитання BQP на вході - так, ви отримуєте, що близький до квадратного кореня на , де підрахунок визначає значення і мають m бінарних змінних після того, як ви заміните . (Немає барів абсолютного значення; "магічно" ви завжди отримуєте . За загальних уявлень про квантові схеми для BQP, $x$ $f(x) - g(x)$ $2^m$ $f$ $g$ $x$ $f(x) > g(x)$ $m$ стає числом воріт Адамара.) Коли відповідь "ні", різниця близька до 0.

Чи можете ви точно сформулювати таку проблему якомога ближче до BQP? Я сподіваюся на щось на кшталт: надавши доступ у чорний ящик до функцій відображення у з обіцянкою, що ..., оцініть в межах . $f,g$ $X$ $Y$ $f-g$ $\varepsilon$

cc.complexity-theory quantum-computing black-box

— Ману
джерело

Я думаю, що коментар Кена Регана стосується результату BQP⊆AWPP від Fortnow and Rogers (JCSS 1999; people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/quantum.pdf ).

— Цуйосі Іто

Відповіді:

Емануеле: На жаль, ми не знаємо жодної проблеми з чорною скринькою із захопленням BQP настільки простою, як та, про яку ви згадали з захопленням BPP.

Інтуїтивно це пов'язано з тим, що важко говорити про BQP, не вводячи унітарність у тій чи іншій формі. Можливість підсумовувати як позитивні, так і негативні числа - це те, що робить BQP більш потужним, ніж BPP, але тоді унітарність - це те, що робить BQP менш потужним, ніж #P! :-)

Сказавши, що, окрім Доусона та ін. папір, з якою пов’язаний Мартін Шварц, ви обов'язково повинні перевірити це і це від Джанзінга та Вокчана, які дають "напрочуд класичний вигляд" обіцяють проблеми, що захоплюють BQP.

Нехай S ⊆ {0,1} ⁿ , і розглянемо булева функція f: S → {0,1}. Тоді я маю гіпотезу з років тому, яка говорить про те, що Q (f), складність квантового запиту з обмеженою помилкою f, поліноміально пов'язана з мінімальним ступенем реального полінома p: R ⁿ → R така, що

(i) p (x) ∈ [0,1] для всіх x∈ {0,1} ⁿ , і

(ii) | p (x) -f (x) | ≤ ε для всіх x∈S.

Якщо ця гіпотеза дотримана, то "приблизна проблема підрахунку з захопленням BQP" була б просто наближенням значення полінома (n) -градусу полінома p: R ⁿ → R у визначеній точці булевого куба, враховуючи, що p обмежений скрізь булевим кубом. Це може бути приблизно так близько, як можна було б отримати відповідь на ваше запитання.

— Скотт Ааронсон
джерело

Спасибі. Я перевірив цю відповідь, оскільки "Це може бути приблизно так близько, як можна було б отримати відповідь на ваше запитання". Питання: яка роль "S" у вашій гіпотезі? Мене бентежить (i) розмова про {0,1} ^ n, а решта - про S.

— Ману

Емануеле: Якщо S = {0,1} ^ n, то f - загальна булева функція. У цьому випадку вже відомо, що складність квантового запиту поліноміально пов'язана з приблизною мірою (а також з детермінованою та рандомізованою складністю запитів). Отже, цікавий випадок, коли f є частковою булевою функцією: тобто квантовий алгоритм повинен працювати лише над входами, що задовольняють обіцянку, що x належить до S. Це ситуація, коли квантові алгоритми на зразок Саймона (які експоненціально перевершують найкращий класичний алгоритм) стати можливим.

— Скотт Аронсон

Зауважимо, що хоча квантовому алгоритму потрібно лише обчислити f на входах, що належать множині S, ймовірність прийняття алгоритму на входах, що не знаходяться в S, все ще належить до інтервалу [0,1]! Як нерозумно це звучить, це часто було вирішальним спостереженням у доведенні квантових нижніх меж методом полінома. І якби я не вимагав, щоб поліном p був обмежений у [0,1] для всіх x в {0,1} ^ n (навіть x не в S), то моя гіпотеза була б тривіально хибною.

— Скотт Ааронсон

У цьому документі детально розглядаються ідеї, продемонстровані вище.

— Мартін Шварц
джерело

Z_{2}

$Z_2$

@Emanuele Viola, @Martin Schwarz: Я насправді не бачу, як ця стаття відповідає на оригінальне запитання. Для одного, цей документ взагалі не говорить про проблеми з чорною скринькою. Я не можу отримати чітке формулювання проблеми чорної скриньки з паперу, такого типу, який задається в питанні. Можливо, хтось із вас міг пролити на це трохи світла?

— Робін Котарі

@ Робін Котарі: Я погоджуюся, що документ не створює проблеми з чорною скринькою, як спочатку просили. Однак, це докладно пояснює коментар Кена Регана. Я мав би зробити це "коментарем", а не "відповіддю".

— Мартін Шварц

О, гаразд. Без проблем. Тож я гадаю, що питання все ще залишається невирішеним.

— Робін Котарі