Чи означає, що слідова норма різниці двох матриць щільності є однією з цих двох матриць щільності, може бути одночасно діагоналізованою?

Я вважаю, що відповідь на це питання добре відома; але, на жаль, я не знаю.

У квантових обчисленнях ми знаємо, що змішані стани представлені матрицями щільності. А слідова норма різниці двох матриць щільності характеризує відмінність двох відповідних змішаних станів. Тут визначення норми сліду - це сума всіх власних значень матриці щільності з додатковим мультиплікативним коефіцієнтом 1/2 (відповідно до статистичної різниці двох розподілів). Загальновідомо, що коли різниця двох матриць щільності одна, то відповідні два змішані стани цілком можна відрізнити, тоді як коли різниця дорівнює нулю, два змішаних стани абсолютно не відрізняються.

Моє запитання полягає в тому, чи може слідова норма різниці двох матриць щільності, що є однією, означає, що ці дві матриці щільності можуть бути одночасно діагоналізованими? Якщо це так, то прийняття оптимального вимірювання для розрізнення цих двох змішаних станів буде вести себе як розрізнення двох розподілів на одній області з нероздільною підтримкою.

quantum-computing quantum-information

— Джеремі Ян
джерело

Не могли б ви визначити, що таке матриця щільності? це просто позитивна певна матриця?

— Суреш Венкат

@Suresh: Матриця щільності - це гермітична, позитивна семидефінітна матриця, слід якої дорівнює 1.

— Tsuyoshi Ito

Відповідь на питання "так", оскільки відстань сліду, що дорівнює 1, означає, що дві матриці щільності мають ортогональні опори.

— Цуйосі Іто,

@Tsuyoshi: Можливо, ви повинні написати цей коментар як відповідь?

— Робін Котарі

@Robin: Звичайно, готово.

— Цуйоші Іто

Відповіді:

Ось один із способів довести факт, який вас цікавить.

Припустимо, і - матриці щільності. Як і будь-яка інша ерміціанська матриця, можна виразити різницю оскільки для і є позитивними напівдефінітами і мають ортогональні зображення. (Іноді це називається розкладом Йордана-Гана; воно унікальне і легко отримується при спектральному розкладі ) Зауважимо, що факт, що $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

мають ортогональні зображення означає, що вони одночасно діагоналізуються, що я трактую - властивість, яке вас цікавить.

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Щоб зробити цей висновок, зверніть увагу, що спочатку і , так . Далі візьміть та як ортогональні проекції на зображення та відповідно. У нас є так Обидва та $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ повинен міститися в інтервалі [0,1], з якого робимо висновок, що і . З цих рівнянь не важко зробити висновки та , а отже за рівнянням вище. Аналогічний аргумент показує .

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— Джон Вотрус
джерело

Дякую, професор Ватрос. Насправді, я дізнаюсь про всі ці матриці слідів норми та щільності з ваших конспектів лекцій.

— Джеремі Ян

Я хочу додати, що всі матеріали, обговорені в цій публікації, можна знайти в он-лайн-конспектах лекцій професора Ватурса (лекція 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— Джеремі Ян

Так. Якщо відстань сліду двох матриць щільності дорівнює 1, то вони мають ортогональні опори, і тому вони одночасно діагоналізуються.

— Цуйосі Іто
джерело

Я думаю, що відповідь "так", але я не знаю доказів.

— Джеремі Ян

Основна ідея доказу, яка встановлює дві матриці щільності, повністю відрізняються, коли відстань сліду одна, це діагоналізація різниці двох матриць щільності; але як довести ту саму основу, що діагоналізує самі матриці щільності? Можливо, ці дві матриці щільності не є діагональними щодо цієї основи, але їх відмінність є. Чи може хтось дати якусь доказову ідею, або надати деякі посилання на доказ? Дякую.

— Джеремі Ян