Результати, що показують існування / відсутність кінцевих графіків із конкретними обчислювальними властивостями, передбачають певні результати складності

Чи є відомі результати, що показують, що існування (або відсутність) кінцевих графіків із специфічними обчислюваними властивостями передбачає певні результати складності (наприклад, P = NP)?

Ось один цілком гіпотетичний результат: Якщо існує кінцевий графік із розчленованими ребрами A, B, C і D таким чином, що всі максимальні збіги або містять усі A, B, C і D, або не містять жодного з A, B, C і D , тоді P = NP.

Один такий результат був доведений Ліптоном "Про доведення того, що граф не має великої кліки: зв'язок з теорією Рамзі" . Він пов'язує припущення нижньої межі з чисто графічними теоретичними результатами, показуючи, що якщо$NP$ не міститься в $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$, то непереборність $MAX-CLIQUE$випливає, що існують графіки з акуратними теоретичними властивостями Рамзі. (Див. Статті для визначення.) Я не маю уявлення, чи був досягнутий прогрес у доведенні того, чи існують такі графіки чи ні.

Вибачте, я наткнувся на це однорічне запитання лише зараз ...

Насправді є маса результатів, що показують, що явні графіки з деякими властивостями передбачають сильні нижні межі для булевих функцій. Скажімо, графіки з високим афінним або проективним розміром передбачають сильні нижні межі для формул і програм розгалуження. Існують також "простіші" міри графіків, хороші нижні межі, які мали б великі наслідки для обчислювальної складності. Дозвольте намалювати деякі з них.

Перегляньте графіки як набори ребер. Дозволяє$s(G)$ бути найменшою кількістю $s$ такий як $G$ можна записати як перехрестя $\leq s$ графіки, кожен з яких є об'єднанням $\leq s$бікліки (двосторонні повні графіки). Легкий підрахунок показує це$s(G)\geq n^{1/2}$ майже для всіх двосторонніх $n\times n$графіки. Але за результатами Валіанта кожен чіткий двосторонній графік$G$ (точніше, послідовність графіків) с $s(G)\geq n^c$ для постійної $c>0$вирішить стару проблему: дасть булева функція, яку неможливо обчислити лінійним розміром ланцюга глибини входу. Можна припустити, що щільні графіки без$K_{2,2}$ мають великі $s(G)$.

Ще краще, нехай $Star(G)$ бути найменшою кількістю фанін-$2$ операції з'єднання та перетину, яких достатньо для створення $G$ починаючи з повних зірок (графіки типу) $K_{1,n}$ або $K_{n,1}$). Підрахунок показує, що більшість графіків мають$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$. Але будь-який$G$ з $Star(G)\geq (4+c)n$ для постійної $c>0$дав би явну булеву функцію, що вимагає схем експоненціальної величини! Якщо графік має розмірність$m\times n$ з $m=o(n)$, то навіть нижня межа $Star(G)\geq (2+c)n$матиме ті самі наслідки. Найкраще, що ми можемо показати поки що$Star(G)\geq 2n-1$.

Дозволяє $Sym(G)$ бути найменшою кількістю $t$ для якого існує підмножина $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ і послідовність $t$ бікліки такі, що $(u,v)\in G$ iff кількість бікліків, що містять $(u,v)$ належить $T$. Знову ж таки, підрахунок дає$Sym(G)\geq n/2$для більшості графіків. Але за результатами Яо, Бейгеля і Таруя будь-який явний графік$Sym(G)$ більший за $2^{poly(\ln\ln n)}$ дав би нам булеву функцію зовні $ACC$. Попередження: бути “комбінаториальним складним” поодинці не означає великого$Sym(G)$: існує сильно графіки Рамзі, для яких $Sym(G)=O(\log n)$, навіть якщо $T$ = набір непарних цілих чисел.

Детальніше про те, як все це відбувається, ви можете прочитати тут .

Класичним прикладом був Валіант (я не знаю посилання, але я думаю, що це описано в книзі Хорі, Лініяля і Вігдерсона на графах розширення ). Валіант показав явну нижню межу (я думаю, що певна явна функція$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ не має схеми $O(n)$ розмір і $O(\log n)$Глибина - те, що ми ще далеко не доводимо) за припущеннями, що певних типів графіків, званих суперконцентраторами, не існує. (Це було асимптотичним питанням, а не про один графік.) Однак він пізніше показав, що вони існують (і насправді мають інші способи використання)

Відповідь, безумовно, "так", якщо ми говоримо про сімейство графіків, а не про конкретні графіки. Наприклад, є припущення Михайла та Вазірані, що всі політопальні графіки 0/1 є або хорошими, або дуже хорошими розширювачами ребер (тобто, їх розширення ребра обмежено внизу 1 / поліном (градус) або 1).

Якщо це правда, то існують ефективні рандомізовані алгоритми апроксимації ланцюга Монте-Карло для ряду відкритих комбінаторних та лічильних задач за допомогою стратегії вибірки Алона, Джерума та Сінклера.

У подібному руслі, якщо існують сімейства багатогранних графіків, діаметр яких зростає швидше, ніж будь-який многочлен у кількості граней і ступеня графа, лінійне програмування не може бути вирішене в сильно поліноміальний час за допомогою наступних крайових алгоритмів.

Розкриваючи коментар Ананда Кулкарні:

Припустимо, існує детермінована машина Тьюрінга М, яка розпізнає SAT у поліноміальний час. Тоді скінченне відношення переходу M буде функцією. Ми знаємо про ТМ, які розпізнають SAT в поліноміальний час, але їх перехідні відносини не є функціями. Зауважимо, що перехідне відношення - це двосторонній спрямований графік з кортежами (стан, символ стрічки) в одній двороздільній частині, кортежами (стан, символ стрічки, переміщення) в іншій поділі та дугами від пар до трійки.

Так тривіально, якщо є такий диграф, який є функцією, то P = NP.

Звичайно, це не дуже природне визначення, оскільки воно вимагає, щоб допоміжна техніка надавала значення вимозі, щоб кожен шлях у просторі станів, що досягає приймаючого стану, був довжиною, обмеженою поліномом у вхідному розмірі. Зовсім не очевидно, як виглядає набір кінцевих графів, що представляють багатогранні машини Тьюрінга, чи мають ці графіки цікаві теоретико-графічні властивості.