Докази, бар'єри та П проти НП

25

Добре відомо, що будь-які докази, що вирішують питання Р проти НП, повинні долати релятивізацію , природні докази та бар'єри алгебризації . Наступна діаграма розділяє "простір доказів" на різні регіони. Наприклад, відповідає набору доказів, які релятивізують і натуралізують. (Геометрична теорія складності), звичайно, суворо межа регіону. $RN$ $GCT$

Назвіть кілька доказів разом із найвідомішими регіонами, до яких вони належать. Розміщуйте їх найкращим чином, тобто, якщо відомо, що доказ релятивізує, натуралізує та алгебризує, він повинен бути розміщений у не лише в . Якщо доказ відносить, але не натуралізує, він належить до тощо. $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

alt текст

— Шива Кінталі
джерело

Але чи існують відомі дійсні докази П проти НП взагалі?

— gphilip

2

Я думаю, це класичне питання CW, хоча.

— Суреш Венкат

@gphilip Ми говоримо про докази нижньої межі в теорії складності в цілому.

— Шива Кінталі

@Suresh Розміщення доказів у цих регіонах є нетривіальним. Люди, які розміщують відповіді, повинні бути винагороджені (набравши голоси, звичайно) за їх знання та розуміння цих бар'єрів. Як ти гадаєш ?

— Шива Кінталі

Прочитавши відповідь Суреша нижче, я думаю, що у мене виникло питання (виправте мене, якщо я помиляюся): ви шукаєте класифікації форми "Якщо доказ, який розв'язує P vs NP, має властивість X, то він належить до області Y у картина." У відповіді Суреша X - "Інтерактивна", а Y - поза R, можливо, і поза N.

— gphilip

17

Я думаю, що вам потрібно переробити свою діаграму Венна ... будь-яке стримування класів складності, які релятивізуються, також зміниться, принаймні в сенсі Ааронсона і Вігдерсона. Тобто, доступ до "низького ступеня розширення" оракула є лише більш потужним, ніж доступ до оракула. Аналогічно, будь-які оракули, що показують, що для поділу потрібні "неагебризуючі" методи, означає, що необхідні також "нерелятивізуючі" методи.

— Райан Вільямс
джерело

Привіт Раян, я дотримав схему просто, щоб ми могли також обговорити "крах" цих регіонів. Наприклад, ваша відповідь може бути перетворена як " у значенні Ааронсон-Вігдерсон".

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— Шива Кінталі

4

Те, що каже Райан, стосується стримування. Такий результат, як P = NP, означає, що P = PH релятивізується, але не алгебризується.

— Lance Fortnow

@ Ленс: Дякую за уточнення. Отже, є сенс залишити схему такою, якою вона є.

— Шива Кінталі

3

Я щойно це бачив ... насправді, Скотт і Аві дають і кілька "алгебризуючих" наслідків. Їх поняття, безумовно, визначене таким чином, щоб відновити релятивізацію. (Для імплікації, що цитує Ланс, вони, ймовірно, сказали б, що алгебризуюча імплікація є " означає . ")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— Райан Вільямс

13

Всупереч деяким твердженням раніше в цій нитці, алгебризація в розумінні Ааронсона і Вігдерсона невідома, щоб відновити релятивізацію. Наприклад,

\begin{matrix} (†) & (\exists С : С \subset N Е Х П \land С ⊄ П / p о л у) ⟹ N Е Х П ⊄ П / p о л у \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

це твердження, яке релятивізує. (Насправді він має релятивізуючий доказ, що б це не було для читача.) Але це невідомо, що алгебризують, про що говорять самі Aaronson & Wigderson у розділі 10.1 своєї статті [1]. (Отже, поки AW каже нам, що у наведеній діаграмі повинна лежати поза , можливо, що лежить всередині!) $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

Однак, нещодавня робота Еріка Баха і мене [2] дає формулу алгебризації, яка запускає релятивізацію. В основному, якщо ми візьмемо поняття AW про алгебраїчний оракул --- позначений як для деякої мови --- і модифікуємо його з розумом, тоді ми можемо усунути такі патології, як вище. $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

Підсумок полягає в тому, що алгебризація, коли вона визначена відповідно, - це релятивізація відносно алгебраїчного оракула --- алгебраїчна релятивізація, де кожен оракул отримує "хитання" ---, що означає порожній набір у наведеній діаграмі, отже, так є . $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

PS: Ще одна рецептура алгебризації була запропонована Імпальяццо, Кабанцем і Колоколовою раніше, яка також розміщує всередині , але, як відомо, вона не є такою потужною, як поняття AW. Дивіться мій документ з Еріком для порівняння. $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— Barış Aydınlıoğlu
джерело

Спасибі Баріс. Я радий, що нарешті хтось знайшов поняття алгебризації, яке формально робить те, що, на нашу думку, повинно бути :)

— Ryan Williams

11

В теореми часу і простору ієрархії релятівізіровать. Вони одноманітні, тому, схоже, не натуралізують.

Я думаю, результати непрямої діагоналізації, такі як нижня межа TimeSpace Lance Fortnow, та ін. а також результат Райана Вільямса не релятивізують, оскільки вони не є чорною скринькою (але я не впевнений у цьому). Докази, схоже, не натуралізуються, оскільки вони використовують теореми ієрархії.

Докази постійних не є єдиними $TC^0$ використовують теореми ієрархії і, здається, не працюють для неоднорідного випадку і, схоже, не натуралізуються. З іншого боку, я не знаю, чи вони релятивізуються, вони можуть мати відповідне поняття релятивізації.

— Каве
джерело

7

Інтерактивні докази не відносять. Я не думаю, що вони натуралізуються, оскільки вони є однорідними.

— Суреш Венкат
джерело