Алгоритми та теорія структурної складності

Багато важливих результатів теорії складності обчислювальної техніки, і зокрема "структурної" теорії складності, мають цікаву властивість, що їх можна зрозуміти як принципово наступні (як я це бачу ...) з алгоритмічних результатів, що дають ефективний алгоритм або протокол зв'язку для деяких проблема. До них належать:

• IP = PSPACE випливає з просторо-ефективного рекурсивного алгоритму, що імітує інтерактивні протоколи, та ефективного інтерактивного протоколу для оцінки повністю кількісно визначених булевих формул. Насправді будь-яку рівність класу складності A = B можна розглядати як такий, що випливає з двох ефективних алгоритмів (алгоритм проблем у A, який є ефективним відносно B, і навпаки).
• Доведення NP-повноти певної проблеми - це просто пошук ефективного алгоритму, щоб зменшити повну NP-проблему до неї.
• Найважливішим інгредієнтом теореми ієрархії часу є ефективне універсальне моделювання машин Тьюрінга.
• $\not \supset$
• PCP теорема є те , що ефективний розрив можливе посилення проблем задоволення обмежень.
• тощо, тощо.

Моє питання (! , Який, можливо , безнадійно розпливчастим) виглядає наступним чином : Чи існують які - небудь важливі результати у структурній теорії складності (на відміну від «мета-результатів» , як релятивизация бар'єру) , які НЕ відомо, мають природну інтерпретацію в термінах ефективної алгоритми (або протоколи зв'язку)?

Для багатьох нижчих меж алгебраїчної складності я не знаю природної інтерпретації з точки зору ефективних алгоритмів. Наприклад:

• техніка часткових похідних Нісана та Вігдерсона

• ранг-гессіанська техніка Міньйона та Рессайра (дає найбільш відому в даний час нижню межу на постійній та детермінантній)

• ступінь обмеженості Страссена (і Баура-Страссена)

• техніка з'єднаних компонентів Ben-Or.

У всіх вищенаведених результатах вони, здається, використовують властивість функцій, що займаються, де саме ця властивість здається не пов'язаною з існуванням якогось конкретного алгоритму (не кажучи вже про ефективний).

Ось неалгебраїчні результати, ось кілька думок:

• Аргумент стандартного підрахунку для нижньої межі сортування не має інтерпретації з точки зору ефективних алгоритмів. Однак існує змагальна версія цієї нижньої межі [1], в якій існує алгоритм, який, враховуючи будь-яке дерево рішень, що використовує занадто мало порівнянь, ефективно конструює список, який дерево рішень сортує неправильно. Але змагальний варіант, хоча і не є складним, значно складніше, ніж підрахунок доказів. (Зауважте, що це досить сильніше, ніж те, що можна отримати, застосовуючи метод нижньої межі противника, наприклад, як у цих нотах , оскільки в [1] сам противник є ефективним .)$n \log n$

• Я думаю, що я змінив свою думку про PARITY не в (навіть оригінальний доказ, не кажучи вже про доказ Razborov-Smolensky, як вказував @RobinKothari). Хоча лемму комутації можна розглядати як рандомізований ( або детермінований ) алгоритм, який дозволяє поміняти два ряди схеми без великих розмірів, я думаю, що це дійсно відрізняється від багатьох складностей, ніж багато результатів у складності, а саме ті, які ви цитуєте. Наприклад, доказ Вільямса про те, що має вирішальне значення на існуванні хорошого алгоритму для певної проблеми. На противагу цьому, якби можна було довести щось на кшталт перемикання леми неконструктивно, було б так само добре для доказу PARITY не в .$AC^0$$ACC \neq NEXP$$AC^0$

Через ці два останні приклади - особливо сортування, де стандартне доведення є неконструктивним - мені здається, що питання може бути не лише про природні інтерпретації з точки зору ефективних алгоритмів, а й якось про конструктивність / ефективність доказів різних результати складності (залежно від того, що мав на увазі ОП). Тобто стандартне сортування нижньої межі не є конструктивним чи алгоритмічним, але є конструктивне, алгоритмічне доведення того ж результату.

[1] Atallah, MJ та Kosaraju, SR Нижня межа для сортування на основі противника . Інформувати. Зб. Лет. 13 (2): 55–57, 1981.