Чому CNF використовується для SAT, а не для DNF?

Я не зовсім розумію, чому майже всі розв'язувачі SAT використовують CNF замість DNF. Мені здається, що розв’язувати SAT простіше за допомогою DNF. Зрештою, вам просто потрібно сканувати набір імплікантів і перевірити, чи містить один з них не як змінну, ні її заперечення. Для CNF немає такої простої процедури, як ця.

Скорочення підручника з SAT до 3SAT, завдяки Карпу, перетворює довільну булеву формулу у «еквівалентну» булеву формулу CNF Φ ′ поліноміального розміру , таким, що Φ є задоволеним тоді і лише тоді, коли Φ ′ є задоволеним. (Строго кажучи, ці дві формули не еквівалентні, тому що Φ ' має додаткові змінні, але значення Φ ' насправді не залежить від цих нових змінних.)$\Phi$$\Phi'$ $\Phi$$\Phi'$$\Phi'$$\Phi'$

Не відоме подібне скорочення від довільних булевих формул до формул DNF; всі відомі перетворення збільшують розмір формули експоненціально. Більше того, якщо P = NP, таке зменшення неможливо!

Більшість важливих речей було сказано, але я хотів би підкреслити кілька моментів.

1. задоволення формули DNF - P
2. задоволення формули CNF - NP
3. тестування, чи формула CNF є тавтологією P
4. перевірка, чи формула DNF є тавтологією, є coNP
5. заперечення DNF поступається CNF і навпаки

Таким чином, розв'язувачі SAT використовують CNF, оскільки вони націлені на задоволеність, і будь-яка формула може бути переведена на CNF, зберігаючи задоволеність у лінійний час.

SAT-розв'язувачі не "використовують" CNF - їм (часто) дають CNF в якості вхідних даних і роблять усе можливе для вирішення CNF, який їм дають. Як вказує ваше запитання, представництво - це все - набагато простіше сказати, чи задоволений DNF, ніж CNF одного розміру.

Це призводить до питання, чому вирішувачі SAT не можуть просто перетворити заданий CNF в DNF і вирішити отриманий DNF, і спробувати це хороша вправа для розуміння питань представництва.

7 - ^го вересня 2013: доданий Далі відповідь, перевірка внизу сторінки

---

В основному, формула DNF - це диз'юнкція пунктів , де кожен пункт c i = l i , 1 ∧ . . . ∧ l i , k - це сполука літералів. Назвемо пункт c i суперечливим тоді і лише тоді, коли він містить і буквальний l, і його заперечення ¬ l . Неважко помітити, що кожне незаперечне застереження просто кодує 2 n - $c_1 \lor ... \lor c_m$$c_i = l_{i,1} \land ... \land l_{i,k}$$c_i$$l$$\lnot l$$2^{n-k}$розчини формули. Отже весь DNF - це лише перелік рішень. Формула може мати експоненціально багато рішень, тому відповідна формула DNF може мати експоненціально багато пропозицій. Спробуйте перетворити цю формулу CNF:

$l_1 \lor l_2 \lor l_3 \lor l_4$

$l_5 \lor l_6 \lor l_7 \lor l_8$

$l_9 \lor l_{10} \lor l_{11} \lor l_{12}$

$l_{13} \lor l_{14} \lor l_{15} \lor l_{16}$

$l_{17} \lor l_{18} \lor l_{19} \lor l_{20}$

до відповідної формули DNF: ви отримаєте занадто багато пропозицій. Одним словом: CNF є компактним, тоді як DNF - ні; CNF неявний, тоді як DNF явний.

Наступна проблема не є повною для NP: якщо для екземпляра DNF існує присвоєння змінних, які фальсифікують усі пропозиції?

Я щойно зрозумів ще одну річ, яка, сподіваюся, заслуговує окремої відповіді. Презумпція питання не зовсім правдива. Двійкова схема прийняття рішень (BDD) може розглядатися як компактне / вдосконалене представлення DNF. Були деякі вирішувачі SAT, що використовують BDD, але я вважаю, що вони більше не з'являються.

Є приємний документ Дарвіча та Маркіза, який вивчає різні властивості різних зображень булевих функцій.

Ця подальша відповідь мається на увазі як відгук на коментар ділібайзера до моєї попередньої відповіді.

Як говорить дивіденсеро, безумовно, правда, що CNF і DNF - це дві сторони однієї і тієї ж монети.

Коли вам доведеться знайти задовольняюче завдання, DNF є явним, оскільки він явно показує вам свої задовольняючі завдання (DNF Satisfiability належить до ), тоді як CNF неявний, оскільки він обгортає і закручує, щоб приховати свої задовольняючі завдання від ваших очей (CNF Satisfiability is N П - с о м п л е т е ). Ми не знаємо жодної процедури, яка могла б розгорнути і розмотати будь-яку формулу CNF в якусь невідповідну формулу DNF, яка не має експоненціальної величини. Це був пункт моєї попередньої відповіді (чий приклад мав на меті показати експоненціальний вибух, хоча, правда, такий приклад був не найкращим можливим вибором).$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

І навпаки, коли вам доведеться знайти фальсифікуючу доручення, CNF є явним, оскільки він явно показує вам свої фальсифікуючі завдання (CNF Falsifiability належить до ), тоді як DNF неявний, оскільки він обгортає і віє, щоб приховати свої фальсифікуючі завдання від очей (DNF Falsifiability є N P - c o m p l e t e ). Ми не знаємо жодної процедури, яка могла б розгорнути і розмотати будь-яку формулу DNF в якусь вирівнювальну формулу CNF, яка не має експоненціального розміру.$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

На одній кінцівці ми маємо суперечності, тобто незадовільні формули. На протилежному кінці ми маємо тавтології, тобто нездатні формули. У середині маємо формули, які є як задоволеними, так і фальсифікованими.

$n$$k$$2^{n-k}$

$n$$k$$2^{n-k}$

$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$2^n$

$2^n$

Під цим світлом стає зрозумілішим, чому Задовільність CNF та Falsifiability DNF є рівнозначними за обчислювальною твердістю. Тому що вони насправді є тією самою проблемою, оскільки основне завдання абсолютно однакове: сказати, чи є об'єднання декількох множин рівним простору всіх можливостей . Таке завдання приводить нас до ширшої сфери підрахунку, яка, на мою скромну думку, є однією з тих проспектів, які потрібно ретельно досліджувати, щоб сподіватися на досягнення незначного прогресу в цих проблемах (я сумніваюся, що подальше дослідження вирішувачів на основі вирішення проблем врешті-решт, це може принести революційні теоретичні досягнення, хоча воно, безумовно, продовжує приносити дивовижні практичні досягнення.

Складність такого завдання полягає в тому, що ці групи дико перетинаються, включно - виключення.

Наявність такого перекриття саме там, де знаходиться твердість підрахунку. Більше того, той факт, що ми дозволяємо цим множинам перекриватись, є тією самою причиною, яка дозволяє нам мати компактні формули, простір рішення яких все-таки є експоненціально великим.

Я вирішив перетворити всі ці відповіді в цій темі (особливо відповідь Джорджіо Камерані) в приємну таблицю, щоб подвійність видно одним поглядом:

$$\begin{array} {r|c|c} &\text{DNF} & \text{CNF} \\\hline \text{tautology/unfalsifiability} & \textsf{coNP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} \\\hline \text{satisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(sat. assignments are explicit)} & \textsf{NP-complete}\\\hline \text{falsifiability} & \textsf{NP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(fals. assignments are explicit)} \\\hline \text{unsatisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} & \textsf{coNP-complete} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining equivalence}} & (*) & (*) \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining satisfiability}} & (**) & \textsf{FP} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining falsiability}} & \textsf{FP} & (**) \end{array}$$

$(*)$: Ці проблеми з пошуком, а також перетворення DNF в CNF (або навпаки з цього приводу) вимагають експоненціального часу через розмір виводу. Вони є у FPSPACE; насправді вони вирішуються функцією з бітовим графіком поліноміального часу, який настільки ж ефективний, як і для функції експоненціального розміру-виводу, але мені не відомо, що цей клас має ім'я. Звичайні поняття скорочення багаторазових часів працюють лише розумно для функцій з виведенням поліноміального розміру; незрозуміле їх застосування до цього випадку призведе до повного завершення всіх цих пошукових проблем FEXP, знову ж таки через розмір виводу.

$(**)$: Ці проблеми пошуку вирішуються функцією експоненціального часу з бітовим графіком полінома-часу, як у $(*)$. Однак вони також вирішуються в$\mathrm{FP}^{\mathrm{NP}[1]}$, and conversely, they are NP-hard under poly-time Turing reductions (many-one reductions make no sense here, as we are comparing a search problem with a decision problem).

Shortest answer to the question: showing satisfiability (solving SAT) via DNF can only be done in exponential time according to the table above.