Обчислення закриття профспілки

Дано сімейство не більше ніж підмножин . Замикання об'єднання інший набір сімейство , що містить кожен набором , який може бути побудований з об'єднанням 1 або більше множин в . За ми позначимо число множин . $\mathcal F$ $n$ $\{ 1, 2, \dots, n \}$ $\mathcal F$ $\mathcal C$ $\mathcal F$ $|\mathcal C|$ $\mathcal C$

Який найшвидший спосіб обчислити закриття профспілки?

Я показав еквівалентність між закриттям об'єднання та переліком усіх максимальних незалежних наборів у двопартійному графіку, тому ми знаємо, що рішення про розмір закриття об'єднання є # P-повним.

Однак існує спосіб перерахувати всі максимальні незалежні множини (або максимальні кліки) за час для графа з вузлами та ребрами Tsukiyama et al. 1977. Але це не спеціалізується для двопартійних графіків. $O(|\mathcal C| \cdot nm)$ $n$ $m$

Ми дали алгоритм для двосторонніх графіків із виконанням http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf $|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

Наш метод заснований на спостереженні, що будь-який елемент в може бути зроблений об'єднанням якогось іншого елемента і однієї з оригінальних множин. Отже, ми будемо кожного разу, коли ми додамо елемент до спробуємо розширити його одним із оригінальних наборів. Для кожного з цих встановлює нам потрібно перевірити , якщо вони все ще знаходяться в . Ми зберігаємо як двійкове дерево пошуку, тому кожен пошук бере час $C$ $C$ $C$ $n$ $n \cdot |C|$ $C$ $C$ $\log |C| \cdot n$

Чи можливо знайти закриття з'єднання за час ? Або навіть в часі ? $\mathcal C$ $O(|\mathcal C| \cdot n^2)$ $O(|\mathcal C| \cdot n)$

— Мартін Ватшелле
джерело

У еквіваленті, який ви показали між закриттям об'єднання та максимальним ind. множини у двосторонніх графіках, чи еквівалентність є біекцією? Або іншими словами, у вашому алгоритмі для переліку всіх міксичних ind. множини двобічного графіка, є

кількість максимальних ind. набори?

| C |

$|C|$

— Vinayak Pathak

Так, це бієкція, так

- кількість максимальних незалежних множин. (Зверніть увагу , що emptyset повинен бути визначений , щоб бути в

| C |

$|C|$

C

$C$

— Мартін Ватшелле

Хоча це навряд чи допоможе у вашому питанні, те, що ви запитуєте, - це особливий випадок обчислення висхідних елементів в решітці, і мені цікаво, чи є результати, які можуть бути корисними.

— Суреш Венкат

Опитування, на яке я вказую у своїй відповіді нижче, дає деякі посилання з гратами.

— М. kanté

Складність перерахування максимальних незалежних множин у графах така сама, як і у двосторонніх графах, тому двосторонність не приносить нічого нового.

$O(|C|\cdot n^2)$

— М. kanté
джерело