Мотивація використання Karp-скорочень у теорії

Поняття про поліноміальне скорочення часу (Кука скорочення) - це абстракція дуже інтуїтивно зрозумілої концепції: ефективно вирішити задачу за допомогою алгоритму для іншої проблеми.

Однак у теорії -повноти поняття N P- твердості фіксується за допомогою скорочення відображення (скорочення Карпа). Ця концепція "обмежених" скорочень набагато менш інтуїтивна (принаймні, для мене). Це навіть здається трохи надуманим, оскільки створює дещо менш інтуїтивне уявлення про твердість; з тим , що я маю в виду той факт , що N P не містить тривіальним гр ущільнювача - N P . Хоча в теорії складності ми дуже звикли до тієї концепції, що, будучи здатною вирішити задачу, таку як S A T , не означає, що ми можемо вирішити ¯ S A T$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$, у природних налаштуваннях (які фіксуються скороченнями Кука), припускаючи, що у нас є алгоритм розв’язання , ми можемо вирішити ¯ S A T просто запустивши алгоритм для S A T і повернувши протилежне.$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

Моє запитання: чому ми повинні використовувати скорочення Карпа для теорії -комплектності? Яке інтуїтивне поняття воно захоплює? Як це стосується того, як ми розуміємо "твердість обчислення" в реальному світі?$\mathcal{NP}$

Як і зменшення Тьюрінга, багато-одні скорочення ввійшли в теорію складності з літератури з теорії обчислення / рекурсії. Скорочення Кука та Карпа - це теоретичні версії природної складності подібних існуючих скорочень обчислюваності.

Існує інтуїтивний спосіб пояснення багатьох скорочень: це обмеження скорочень Тьюрінга, коли ми можемо задати лише одиничне запитання від оракула, а відповідь оракула - це наша відповідь.

Тепер питання полягає в тому, чому нам потрібно вивчити це (та будь-які інші скорочення, такі як таблиця істинності, таблиця слабкої правди тощо)?

Ці скорочення дають більш точну картину, ніж зменшення Тьюрінга. Скорочення Тьюрінга є надто потужними, щоб відрізняти багато понять. Дуже велика частина теорії обчислюваності присвячена вивченню рівнів / ступенів. Поняття це множини є центральним. У нас може бути машина ТМ, яка може перераховувати нескінченний набір, ми можемо не мати змоги перерахувати її доповнення. Якщо ви хочете вивчити набори ce, то зменшення Тьюрінга занадто сильне, оскільки набори ce не закриті під ним. Тож багато-одні скорочення є (а може бути) природним способом визначення скорочень для цієї мети.

Інші типи скорочень визначені з аналогічних причин. Якщо вас цікавить, я б запропонував перевірити "Теорію класичної рекурсії" П'єргіорджо Одіфредді. У ньому є досить вичерпна глава про різні скорочення та їх відносини.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

на цьому сайті є кілька питань, пов’язаних зі скороченнями Кука проти Карпа. не бачили дуже чіткого опису цього для неофіта, оскільки його дещо притаманне багато в чому тонкості та активна / відкрита область досліджень. Ось кілька записів, які можуть бути корисними для вирішення цього питання. Як підсумовує вікіпедія, "Скорочення багатьох-один є цінними, оскільки більшість добре вивчених класів складності закриваються під деяким типом зводимості" багато-один ", включаючи P, NP, L, NL, co-NP, PSPACE, EXP та багато інших. Однак ці класи не закриваються за умов довільного скорочення багато-одного ".

видається справедливим сказати, що навіть передові теоретики активно розмірковують про точне розрізнення та відмінності, як у наведених нижче рефератах, і повний сюжет не буде доступний, якщо важливі розмежування класів відкритої складності не будуть вирішені, тобто ці питання, здається, вирізаються в центрі відомого vs невідомо.

[1] Кук проти Карпа-Левіна: Розмежування понять повноти, якщо NP не малий (1992) Луц, Майордомо

[2] Чи Кук і Карп колись однакові? Бейгель і Фортнов

[3] Більше завдань, пов'язаних з NP-завершенням (PPT), див. Слайди 9-14 про розрізнення історії & Кук проти Карпа