Що таке # P-повні підродини # 2-SAT?

Коротка версія.

Оригінальний доказ того, що # 2-SAT є #P -комплект , насправді показує, що ті екземпляри # 2-SAT, які є одноманітними (не включаючи заперечення жодних змінних) і двосторонніми (графік, сформований за допомогою пунктів над змінні - це двобічний графік) - #P -твердий. Таким чином, два випадки # 2-ТОН-SAT і № 2-двочастковий-SAT є #P -Жорсткий. Чи є інші особливі випадки, які можна охарактеризувати з точки зору "природних" властивостей формули, які також є # P- твердими?

Довга версія.

Завдання №2-SAT - завдання обчислення - для булевої формули що складається з сполучення декількох застережень, де кожне застереження є диз'юнкцією двох літералів x j або ˉ x j - кількість булевих рядків x ∈ { 0 , 1 } n такий, що ϕ ( x ) = 1 . Дізнатися, чи існує такий х , легко; але підрахунок кількості рішень в цілому є #P -комплектним , як показано у Valiant у$\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$ складність проблем перерахування та надійності, SIAM J. Comput., 8С. 410–421 .

Зокрема, у випадку з # 2-SAT, що насправді показує Valiant, - це зменшення до # 2-SAT від підрахунку відповідностей (включаючи недосконалі) у двосторонніх графіках, що призводить до появи примірників # 2-SAT з дуже особливою структурою , наступним чином.

1. По-перше, зауважимо, що монотонна задача еквівалентна заміщенню задачі, в якій для кожної змінної або x j зустрічається у формулі ϕ, або ˉ x j має, але не обидва. Зокрема, проблема "монотонне зменшення", в якій зустрічаються лише заперечення ˉ x j для кожної змінної, є рівною мірою, як і монотонний випадок.$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. Для будь-якого графіка з m ребрами, ми можемо побудувати монотонну зменшення 2-SAT формули, що відповідає збігу - колекції ребер, які не поділяють жодних вершин - шляхом призначення змінної x e кожному ребру, що представляє чи включений він у крайовий набір; властивість безлічі М ⊆ Е , що є відповідність еквівалентно вектору инцидентности х = χ М , задовольняє CNF формулу ф якої положення визначаються ( ˉ х е ∨ ˉ х е$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$ для кожної пари ребер які поділяють вершину. За побудовою, φ має стільки задовольняють рішень х ∈ { 0 , 1 } м , як є (можливонедосконале) паросполучення в графі G .$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$$G$

3. Якщо графік для якого ми хочемо підрахувати відповідність, є двостороннім, то він не містить непарних циклів - який ми можемо описати як послідовність ребер у графіку, який починається і закінчується тим самим ребром (не рахуючи цей кінцевий край двічі) . Тоді немає послідовності змінних x e , x f , x g , … , x e непарної довжини в ϕ , в якій суміжні змінні беруть участь у загальному пункті. Тоді формула ϕ буде двосторонньою, як описано раніше.$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. Підрахунок кількості паросочетание в довільних дводольних графах, зокрема, може бути використані для підрахунку кількості зроблене паросполучення в дводольному графі: враховуючи вхідний bitrarite граф з два bipartitions A , B з такий же розмір п , можна створити графи G K , доповнюючи А з будь-якою точкою 0 ⩽ K ⩽ п додатковими вершин , з'єднаних з усіма вершинами B . Тому що всі поєднання в $G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$заданого розміру по-різному вносять внесок у кількість збігів у , підраховуючи ці, можна визначити кількість відповідностей у G розміру n (тобто, які є ідеальними відповідниками); і зауважимо, що підрахунок кількості досконалих відповідностей у двосторонніх графах еквівалентний обчислювальній постійності { 0 , 1 } -матриць простим відповідністю.$G_k$$G$$n$$\{0,1\}$

Клас екземплярів # 2-SAT, які показані як #P -hard, є монотонними двосторонніми екземплярами.

Питання: Які ще інші особливі випадки # 2-SAT, які є #P -повними , внаслідок цього чи іншого зменшення?

Було б цікаво, якби, крім показу / цитування скорочень, люди могли також описати інтуїтивну причину того, як особливий випадок може створювати перешкоди для природних підходів до підрахунку задовольняючих завдань. Наприклад, хоча MONOTONE-2-SAT є тривіально розв’язуваним ( завжди є рішенням), монотонні екземпляри - це ті, в яких присвоєння деякої змінної фіксованому значенню зазвичай не зможе накласти багато обмежень на решту змінних. Виправлення будь-якої змінної x j = 0 обмежує лише значення змінних, безпосередньо пов'язаних з нею, деяким пунктом; і встановлення x j = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$зовсім не обмежує можливі значення будь-яких інших змінних. (Не ясно, що порівняльне обмеження для двопартійних графіків є таким же значним, однак, бипартитное обмеження, здається, додає структуру, а не видаляє її, але воно не може додати структуру достатньо, щоб ефективно рахувати.)

Відредаговано, щоб додати. Бонусні бали будуть нараховуватися за кожного такого класу , який НЕ в кінцевому підсумку покладатися на існування примірників монотонних (як # 2-двочастковий-СБ робить вище, твердість якого по- видимому , пов'язане з включенням #P -важко особливий випадок # 2 -MONOTONE-BIPARTITE-SAT). Наприклад, цікавим може бути аргумент щодо твердості # 2-BIPARTITE-SAT, який не покладається на монотонні екземпляри (але може покладатися на якусь іншу підсімейство).

# 3-регулярна двоповерхова плоска кришка вершини # P-Повна

Оскільки підрахунок обкладинок вершин точно такий же, як підрахунок задовольняючих призначень монотонного екземпляра # 2-SAT, з наведеного вище результату випливає, що підрахунок задовольняючих призначень екземпляра №2-SAT, який є однотонним і 3-регулярним, є # P-повним. і двосторонні і планарні .

Це, в свою чергу, означає, що крім двох спеціальних випадків №2-MONOTONE-SAT та # 2-BIPARTITE-SAT, вже зазначених у запитанні, два особливих випадки # 2-CUBIC-SAT та # 2-PLANAR-SAT є # P - також.