Низькі межі / твердість шумових паритетів (LWE)

Деякі відомості:

Мені цікаво знайти "менш відомі" нижчі межі (або результати твердості) для проблеми "Навчання з помилками" (LWE) та їх узагальнення на зразок навчання з помилками над кільцями. Для конкретних визначень тощо, ось приємне опитування Регева: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

Стандартний тип припущення (R) стилю LWE - це через (можливо, квантове) скорочення до найкоротшої векторної проблеми на (можливо, ідеальній) решітці. Звичайна рецептура SVP, як відомо, є важкою для NP, і НАДАЄТЬСЯ важко наблизитися до малих поліноміальних факторів. (Пов'язано: Важко наблизити CVP до / майже поліноміальних / факторів: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) Я також чув, що це згадувалося (з точки зору квантових алгоритмів) наближення певних задач решітки (наприклад, SVP) до малих факторів наближення полінома пов'язане з неабелевою проблемою прихованої підгрупи (яка, як вважається, важко з власних причин), хоча я ніколи не бачив явного, формального джерела для цього.

Мене більше цікавлять результати твердості (будь-якого типу), які виникають в результаті проблеми шумного паритету з навчальної теорії. Це можуть бути результати твердості класу складності, конкретні алгоритмічні нижчі межі, межі складності вибірки або навіть нижчі межі доказів (наприклад, роздільна здатність). Відомо (можливо, очевидно), що LWE можна розглядати як узагальнення проблеми шумного паритету / паритету навчання з шумом (LPN), яка (від Googling), схоже, використовувалася для зменшення жорсткості в таких областях, як теорія кодування та PAC навчання.

З огляду на себе я виявив лише (м'яко субекспоненціально) ВНУТРІШНІ КОРУШКИ щодо проблеми LPN, наприклад, http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

Питання:

Я знаю, що LPN ВЕРІТАЄ ТВОРО в навчальному співтоваристві. Моє запитання: чому?

Це тому, що всі дуже старалися, але хорошого алгоритму ще ніхто не знайшов? Чи є відомі нижні межі курсивного сорту вище (або інші, які я залишив)?

Якщо відповідь є чіткою, короткий підсумок відомостей та / або посилань на опитування / конспекти лекцій був би чудовим.

Якщо багато чого невідомо, чим більше "найсучасніших" паперів, тим краще. :) (Дякую достроково!)

— Даніель Апон
джерело

Проблема LPN насправді вважається важкою, але, як і більшість проблем, які ми вважаємо важкими, головна причина в тому, що багато розумних людей намагалися знайти ефективний алгоритм і не змогли.

Найкращі "докази" твердості LPN походять з високого статистичного рівня запиту проблеми паритету. Статистичні запити охоплюють більшість відомих алгоритмів навчання, за винятком гауссової елімінації (яка виходить з ладу щоразу, коли вводиться шум), хешування та методи, подібні цим двом. Важко розробити алгоритми не статистичних запитів, і це головне вузьке місце. Іншим свідченням твердості LPN є його зв'язок з іншими важкими проблемами (як, наприклад, LWE, SVP).

Щодо твердості SQ, ось посилання на папір Kearns ('98).

Для досягнення прогресу у верхніх межах цієї проблеми є декілька результатів:

$2^N$ $2^{n / \log n}$
$O(2^{n / \log\log n})$ $O(n^{1 + \epsilon})$
$k$ $\approx O(n^{0.5 k})$ $O(n^k)$ $O(n^k)$ $\eta$ $1/2$
$\approx O(n^{0.8 k})$

— Лев Рейзін
джерело

Це дуже приємна відповідь; Дякую! Я дозволю баунті плавати за трохи (у випадку, якщо комусь вдасться заглушити нижню межу непарної кулі), але з моєї точки зору це здається завершеним.

— Даніель Апон