Оптимальні NP-рішення

Виправте NP-повну проблему пошуку, наприклад, форму пошуку SAT. Пошук Левіна забезпечує алгоритм для вирішення який є оптимальним у певному сенсі. Зокрема, алгоритм - "Виконати всі можливі програми у доопрацюванні на вході , як тільки якийсь повернеться відповісти перевіряє, чи правильно". Оптимально в тому сенсі, що задана програма яка вирішує із часовою складністю $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ , тимчасова складність з задовольняє $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

де - нерухомий многочлен, який залежить від точної моделі обчислення $p$

може бути сформульована дещо сильніше. А саме, для кожного іпрограми вирішенняз посиланнямпід час, тимчасової складністьзобмежені входи взадовольняє $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

де - нерухомий многочлен. Найважливіша відмінність полягає в тому, що може бути, наприклад, поліном, навіть якщо $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

Очевидною "слабкістю" є великий фактор у цій межі. Неважко помітити, що якщо існує алгоритм, що задовольняє зв’язок тієї ж форми з замінений на многочлен утоді . Це тому, що ми можемо вважати, що є програмою, що вирішує певний екземпляр шляхом жорсткого кодування відповіді. Аналогічно, якщо можна замінити на субекспоненціальну функціюто порушується експоненціальна часова гіпотеза. Однак відповідь на наступне питання менш очевидна (для мене): $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$

Якщо припустити , що експоненціальні гіпотези часу і інші добре відомі гіпотези (наприклад , невироджені полиномиальной ієрархії, існування односторонніх функцій) в разі необхідності, може бути алгоритм вирішення ст для кожного і програми , вирішуючи з обіцянкою в момент , тимчасова складність з обмежений входів задовольняє $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
де - поліном, - субекспоненціальний і довільний $q$ $f$ $g$

Якщо відповідь позитивна, може поліноміальна? Яка швидкість росту (явно принаймні експоненціальна за ETH)? Якщо відповідь негативна, чи може існувати поліном якщо ETH помиляється, але ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— Ванесса
джерело

Розглянемо наступний алгоритм (варіант алгоритму Левіна):

Запустіть перші алгоритмів паралельно. Додатково запустіть паралельно алгоритм грубої сили, який випробовує всі можливі рішення по одному. (Запускайте всі алгоритми з однаковою швидкістю.) $n$

Зупиніться, коли один з алгоритмів знайде рішення.

Розглянемо два випадки (з урахуванням вводу довжини ): $x$ $n$

$Q$ - один з перших алгоритмів. Тоді час роботи - . $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ не є одним із перших алгоритмів (таким чином, ). Тоді час бігу обмежується часом виконання алгоритму грубої сили. Ми маємо, що час роботи . $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

Маємо

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

(Тут - многочлен, а - подвійна експоненція в ; ми можемо поліпшити залежність від , погіршивши залежність $f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Юрій
джерело

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$