Найменший набір не входить до колекції наборів

Подано як вхід ціле число $n$ і безліч множин елементів , яка складність пошуку множини$S$$\{1, ..., n\}$$T$ елементів $\{1, ..., n\}$ таким, що $T$ має мінімальну кардинальність і $T$ не входить у жоден з множин $S$ ?

Нехай , і F = { S 1 , S 2 , ... , S m } ⊆ 2 [ n ] - сімейство вхідних наборів. Якщо я неправильно зрозумів вашу постановку проблеми, ми хочемо знайти набір мінімального розміру T ⊆ [ n ] такий, що T ⊈ S i для всіх i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Щоб відповісти на ваше запитання, зауважте, що тоді і тільки тоді, коли T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ . Тобто T має перетинати доповнення кожного S i . Але це означає, що ваша проблема, по суті, еквівалентна задачі набору ударів (розгляньте набір набору з введенням G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Набір ударів. Враховуючи сімейство множин і ціле число k , чи існує множина T ⊆ [ n ] з | Т | ≤ k і T ∩ S ≠ ∅ для всіх S ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Набір ударів, як відомо, є NP-повним, і його не можна, вільно кажучи, вирішувати швидше, ніж за час якщо Гіпотеза сильного експоненційного часу не завершиться .$O(2^n)$

Проблема еквівалентна проблемі Set Cover Problem / Hitting Set Problem:

Для сімейства підмножин { 1 , ... , п } , знайдеться безліч T ⊂ { 1 , ... , п } мінімального можливого розміру , який перетинає кожен набір в сім'ї F .$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Ваша проблема еквівалентна задачі набору ударів, оскільки не лежить у жодному наборі в S, і лише тоді, коли він перетинає кожен набір у F = { ˉ A : A ∈ S } . (Отже, щоб вирішити екземпляр задачі набору ударів, досить вирішити екземпляр вашої проблеми за допомогою S = { ˉ A : A ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Проблема встановлення ударів є важкою для NP [Karp '72]. Існує алгоритм наближення для нього та відповідна твердість результату апроксимації [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$