Чи повинна повнота / твердість NP повинна бути конструктивною?

Чи є із такими властивостями:$L\in {\bf NP}$

1. Відомо, що означає .P = N $L\in {\bf P}$${\bf P}={\bf NP}$

2. Там немає (відомо) Полінома Тьюринга скорочення (або які -небудь іншого -повної проблеми) в .N P$SAT$${\bf NP}$$L$

Іншими словами, якщо алгоритм поліноміального часу для передбачає згортання на , то чи потрібно, щоб ця "загальна твердість" для була якось , в тому сенсі, що, скажімо, повинен бути приведений до за допомогою певного зменшення?N P P L N P c o n s t r u c t i v e S A T $L$${\bf NP}$${\bf P}$$L$${\bf NP}$$constructive$$SAT$$L$

Так, є такі набори, візьміть будь-який -проміжний набір (будь-який набір, мабуть, -проміжний припущення ), наприклад, побудуйте один із SAT використовуючи теорему Ладнера.$\mathsf{NP}$P ≠ N $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Зауважте, що ваш повинен розглянути проміжну проблему , оскільки він є в але не є повним для нього. Зауважте також, що ви припускаєте, що іншому випадку немає такого оскільки кожна нетривіальна проблема була б повною для якщо . Крім того, умови, які ви навели, не означають повноти, тому питання в першій частині не є таким же, як питання про конструктивність повноти.N P N P P ≠ N P L N P N P = $L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

---

Щодо питання в заголовку, тобто "чи -твердість повинна бути конструктивною?".$\mathsf{NP}$

Відповідь залежить від того, що ми маємо на увазі під "конструктивним". Класично завдання рішення визначається як -hard iffН $A$$\mathsf{NP}$

$$\forall B\in \mathsf{NP} \ B \leq^\mathsf{P}_m A$$

що означає

$$\forall B\in \mathsf{NP} \ \exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in B \leftrightarrow f(x)\in A)$$

І за теоремою Кука це рівнозначно

$$SAT \leq^\mathsf{P}_m A$$

що означає

$$\exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in SAT \leftrightarrow f(x)\in A)$$

Як можна зробити це визначення конструктивним? Це вже здається мені дуже конструктивним. Я думаю, що ви хочете запитати, чи ми можемо довести це для якогось не знаючи, що явно . Я не пам'ятаю, щоб бачив такі тверді твердження.$A$$f$

Класично навіть тоді, коли у нас немає конкретної функції, є функція, кажучи, що неможливо, що жодна функція не є скороченням, рівнозначно тому, що якась функція є скороченням. Щоб говорити про конструктивність, ми повинні бути більш уважними. Наприклад, ми можемо говорити про твердження, які можна перевірити класично, але не конструктивно (наприклад, інтуїціонізм, коли різний стан математичних знань має сенс, Google для "ідеального математика" або перевірити це ).

Інтуїтивно мені здається правдоподібним, що ми можемо довести таке твердження, використовуючи доказ протиріччя і не надаючи явної функції скорочення. Але це не означає, що не існує конструктивного доказу заяви. Якщо говорити більше про те, що не існує конструктивних доказів, ми повинні бути більш конкретними: докази в якій теорії / системі? що ми маємо на увазі під конструктивним доказом?

$k$

"Ізоморфний" відрізняється від зменшення Тьюрінга (значно слабкіше насправді), але ці набори показали, що NP-жорсткі безпосередньо, наскільки я знаю, немає відомого зниження рівня SAT. Зважаючи на це, за визначенням повноти NP має бути деяке скорочення між двома, тому, хоча це відповідає критерію "невідомого" зменшення, воно може бути не саме тим, що ви шукаєте.

[1] Джозеф, Д. та Янг, П. Деякі зауваження щодо функцій свідків для неполіноміальних та неповних множин у НП. Теоретичні інформатики. т. 39, стор 225--237. 1985. Elsevier.

Далі наведено приклад для запитання в заголовку. Це взято з наступного документу: Ян Краточвіль, Петро Савицький та Жолт Туза. Ще одне виникнення змінних змушує перехід задоволеності від тривіального до np-завершеного. Журнал обчислювальної техніки SIAM, 22 (1): 203–210, 1993.

Нехай f (k) є максимальним цілим числом r таким, що кожна k-SAT форума, в якій кожна змінна зустрічається не більше r разів, є задовольняючою. Невідомо, чи є f (k) обчислюваним, хоча для нього відомі відносно жорсткі межі (див. Х. Гебауер, Р. Мозер, Д. Шедер та Е. Велзл. Локальна лема Лоза і задоволеність. Ефективні алгоритми, сторінки 30–54, 2009.).

(k, s) -SAT - проблема k-SAT, обмежена форумами, в яких кожна змінна зустрічається не більше, ніж найчастіше.

Kratochvil та ін. доведено, що (k, f (k) +1) -SAT є NP-повним. Зауважимо, що (k, f (k)) - проблеми SAT завжди задовольняються (за визначенням). Саме зниження є неконструктивним: зауважте, що зменшення виводить формулу, в якій кожна змінна зустрічається максимум f (k) +1 разів, навіть незважаючи на те, що f (k) не можна обчислити. Основна неконструктивна ідея полягає в тому, що, хоча значення f (k) невідоме, існує формула (k, f (k) +1) -SAT, яка не підлягає задоволенню, і вони маніпулюють цією формулою відповідно до своїх потреб .

Agrawal і Biswas представили неперевершену мову, для якої невідомо скорочення Карпа чи Кука. Доказ повноти випливає, оскільки його відношення до свідків є універсальним (відношення свідка має необхідні оператори приєднання та еквівалентності, необхідні для того, щоб бути універсальними). Мова наведена у розділі 6.3 у довідці.

М.Аграваль, С.Бісвас, Універсальні відносини у працях Конференція IEEE Структура в теорії складності (1992), стор. 207–220.