Чому випадковість сильніше впливає на скорочення, ніж на алгоритми?

Можна припустити, що випадковість не розширює потужність поліноміальних часових алгоритмів, тобто передбачається для утримання. З іншого боку, випадковість, здається, має зовсім інший вплив на скорочення поліноміального часу . За добре відомим результатом Валіанта та Вазірані, скорочується до за допомогою рандомізованого скорочення часу поліномів. Мало ймовірно, що скорочення може бути дерандомізоване, оскільки воно дасть , що вважається малоймовірним.${\bf P}={\bf BPP}$U S A T N P = U $SAT$$USAT$${\bf NP}={\bf UP}$

Цікаво, що може бути причиною такої асиметричної ситуації: дерандомізація здається цілком можливою в імовірнісних поліноміальних часових алгоритмах, але не в імовірнісних скороченнях поліноміального часу?

По-перше, дозвольте мені прокоментувати конкретний випадок скорочення Валіант-Вазірані; це, сподіваюся, допоможе з’ясувати загальну ситуацію.

Зменшення Valiant-Vazirani можна розглядати / визначати декількома способами. Це скорочення "намагається" зіставити задоволену булеву формулу до однозначно задоволеного F ' і незадовільного F F $F$$F'$$F$ - на незадовільну . Усі формули виводу завжди отримуються шляхом подальшого обмеження F , тому незадовільність завжди зберігається. Відновлення може бути визначена або в якості висновку одного F ' , або як висновок списку F ' 1 , ... , F ' т . В останньому випадку "успіх" у випадку F ∈ S$F'$$F$$F'$$F'_1, \ldots, F'_t$ визначається як маєщонайменше одиноднозначно здійсненні F ' I в списку. Назвіть ці два варіанти відповідно "скорочення однотонних" та "скорочення списку" (це не стандартна термінологія).$F \in SAT$$F'_i$

Перший момент, який важливо зауважити, полягає в тому, що ймовірність успіху в однотонному скороченні є досить малою, а саме де n - кількість змінних. У роботі досліджено труднощі щодо покращення цієї ймовірності успіху$\Theta(1/n)$$n$

"Чи поліпшена ймовірність ізоляції Валіант-Вазірані?" від Dell et al.

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

У скороченні списку ймовірність успіху можна зробити великою, скажімо, списком з величиною poly ( n ) . (Наприклад, можна просто повторити однократне скорочення, наприклад.)$1 - 2^{-n}$$(n)$

Тепер, це зовсім не очевидно чи інтуїтивно, що ми повинні мати можливість безпосередньо дерандонізувати скорочення, яке має лише ймовірність успіху . Дійсно, жоден з результатів твердості проти випадковості не дає гіпотез, згідно з якими ми можемо це зробити в цьому випадку. Набагато правдоподібніше, що скорочення списку може бути дерандомізоване (з дещо більшим списком). Зауважте, що це не означає, що N P = U P : наш вихідний формул може мати безліч однозначно задоволених формул, а можливо, і деякі з багатьма задовольняючими завданнями, і, здається, безнадійно намагатися визначити однозначно прийняття обчислень над таким список. $1/n$$NP = UP$

Навіть якби ми могли яким - то чином дати список обтиснення , в якому реально завжди індукований список F ' 1 , ... , F ' т , де більшість$F$$F'_1, \ldots, F'_t$ з «s однозначно здійснимо, немає чіткого способу перетворити це в детерміноване однократне зменшення для ізоляції. Справжня основна складність полягає в тому, що ми не знаємо жодної "операції з приблизною більшістю для однозначно задоволених формул", тобто зменшення R ( F ′ 1 , … , F ′ t$F'_j$$R(F'_1, \ldots, F'_t)$вихід якого однозначно задоволений, якщо більшість ' s однозначно задовольняються, і незадовільний, якщо більшість F ' j ' є незадовільними. Це також здається загальним явищем: зменшення виводить більш складні об'єкти, ніж алгоритми прийняття рішень, а властивості цих об'єктів перевірити важче, тому складніше об'єднати багато з цих об'єктів в один об'єкт, який успадковує деяку властивість більшості.$F'_j$$F'_j$

Для випадку Валіант-Вазірані навіть не здається, що за правдоподібних припущень про дерандонізацію нам вдасться отримати , тобто детерміновано зводити задоволені формули до задоволених формул з ≤ poly ( n ) рішення. Інтуїтивно це випливає з того, що процедура виділення не має уявлення навіть про грубі розміри набору розчинів формули F, яку вона задана.$NP = FewP$$\leq$$(n)$$F$

У світі оракулів легко навести приклади, коли випадковість дає нам набагато більше сили. Розглянемо, наприклад, проблему знаходження нуля врівноваженої булевої функції. Випадковий алгоритм забезпечує виконання запитів з постійною ймовірністю успіху, тоді як будь-який детермінований алгоритм вимагає щонайменше n / 2 запитів.$O(1)$$n/2$

Ось ще одна ситуація, де вона є підозрюють, що рандомізація допомагає. Припустимо, ми хочемо домогтися максимальної монотонної субмодулярної функції над обмеженням матроїда. Існують два різних алгоритми, які дають наближення , і це оптимально в цій моделі за результатами Vondrák. В обох алгоритмах потрібно обчислити функцію вигляду E x ∼ X f ( x ) , де $1-1/e$$\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$$X$це розподіл з експоненціальною підтримкою. Обчислити цю функцію точно дуже дорого, але її можна наблизити за допомогою вибірки, а результат - рандомізований алгоритм. На відміну від цього , найвідоміший детермінований алгоритм, жадібний алгоритм, дає наближення.$1/2$

Аналогічна ситуація виникає і при необмеженій субмодулярній максимізації (тут функція не обов'язково є монотонною). Недавній алгоритм прориву дає оптимальне наближення, але її детермінований варіант дає тільки 1 / 3 наближення. Тут рандомізація виявляється або точно так само, як і в монотонному випадку, або (в іншій версії алгоритму), роблячи кілька випадкових виборів на цьому шляху.$1/2$$1/3$

Один з авторів останньої роботи здогадах , що це краще , що детермінований алгоритм може досягти, і ми можемо так само припущення , що +1 / +2 це краще , що може бути досягнуто в попередньому завданні. Якщо ці здогадки вірні, то це дуже природна ситуація, коли рандомізація, очевидно, допомагає.$1/3$$1/2$

Нещодавно Добзінський та Вондрак показали, як перетворити нижню межу значень oracle (для рандомізованих алгоритмів) у результати твердості, що залежать від NP, відмінного від RP (ключовим інгредієнтом є розшифровка списку). Слід зазначити, що трансформація спирається на специфічний метод, який використовується для доведення нижньої межі оракула. Можливо, це правда, що нижня межа оракул з детермінованою цінністю також призводить до результатів твердості.

Однією з причин, чому вам може здатися дивним, є те, що ми, здається, думаємо, що в рандомізованих скороченнях від до U P існує більш очевидна (або гадана) потужність.$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$ ніж порівнянна з до P , це тому, що ви можете бути спокусилося думати про випадковість як про щось, що є потужним (або не потужним) незалежно від того, до якої «машини» ти додаєш його (якщо ми карикатуємо ці класи складності як класи, що виникають із моделей машин).$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

І все ж ці скорочення різної потужності існують. Насправді обчислювальний ресурс, такий як випадковість, не обов'язково має фіксовану кількість обчислювальної потужності, яка є або "значною", або "несуттєвою".

Ми можемо вважати, що будь-який клас складності, який є низьким для себе - наприклад, , P , B P P , B Q P , ⊕ P , або P S P A C E - може бути підданий машинній моделі сортів, у якій машина завжди має чітко визначений стан, щодо якого ви можете задавати питання в будь-який момент часу, при цьому також дозволяючи обчислення продовжуватись поза тим питанням, яке ви задаєте: по суті, саме те, що машина може імітувати один алгоритм як підпрограму для інший. Машина, яка виконує обчислення, може бути не особливо реалістичною$\mathsf L$$\mathsf P$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PSPACE}$ якщо ми обмежимось практичними обмеженнями щодо ресурсів ( наприклад,  фізично зрозумілі та здатні дати відповіді в низьких рівнях, ступінь поліноміального часу для проблем, що цікавлять), але на відміну від таких класів, як - для яких ми не маємо уявлення про те, як недетермінований апарат міг би виробляти відповідь на іншу проблему в N P і використовувати відповідь будь-яким способом, окрім (ітераційних) сполучникових та диз'юнктивних скорочень таблиці істинності - уявляючи собі такий клас, як втілений машиною з чітко визначеним станом, який ми можемо запитати не сильно збиваються з нас.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Якщо ми зайняли цю позицію, ми можемо запитати, що відбувається, якщо ми надамо цим обчислювальним моделям додаткові засоби, такі як випадковість або недетермінізм. (Ці додаткові засоби не обов'язково зберігають властивість інтерпретувати машинною моделлю, особливо у випадку недетермінізму, але вони породжують "нові" класи.) Якщо цей додатковий засіб дає моделі більше потужності, породжуючи для класу C , це фактично еквівалентно твердженню про зменшення від$\mathsf M$$\mathsf C$ до M за допомогою цього засобу,наприклад, рандомізоване скорочення у випадку випадковості.$\mathsf C$$\mathsf M$

Причина, через яку я описую це в низьких для себе класах, полягає в тому, що якщо ми серйозно поставимося до того, що вони є "можливими моделями обчислень в іншому світі", ваше запитання про рандомізовані скорочення відповідає тому, що здається, що випадковість різко збільшує потужність деяких моделей, але не інших .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$(по суті, модуль кількісного підрахунку 2) каталізує випадковість, пов'язану з обмеженою помилкою (по суті, кількісним підрахунком з проміжною прогалиною), щоб дати нам еквівалент цілої безмежної ієрархії екзистенціальних і універсальних кванторів. Але це не означає, що ми це гадаємо$\mathsf{\oplus P}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

$\mathsf{PH}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$Справа не в тому, що "випадковість не має сили", але сама випадковість (точніше, доповнена лише обчисленням поліномів часу та надана інакше детермінованій обчислювальній моделі) не є потужною. Але це не означає, що не може бути сили в випадковості, яка може каталізуватися іншими обчислювальними ресурсами.