Затишні мікрорайони "P" та "NP-hard"

Нехай - алгоритмічне завдання. (Це може бути проблема рішення або проблема оптимізації чи будь-яке інше завдання.) Назвемо "на поліномічній стороні", якщо припустити, що є NP-жорстким, що означає, що поліноміальна ієрархія руйнується. Назвемо "на стороні NP", якщо припускати, що допускає поліноміальний алгоритм, який означає, що поліноміальна ієрархія руйнується.$X$$X$$X$$X$$X$

Звичайно, кожна проблема в Р знаходиться на поліномічній стороні, і кожна проблема, яка є NP-жорсткою, знаходиться в NP-стороні. Також, наприклад, факторинг (або що-небудь в NPN перетині coNP) є на поліноміальній стороні. Графічний ізоморфізм знаходиться на поліномічній стороні. КВАНТОВЕ ЗРАБОТВАННЯ знаходиться на стороні NP.

1) Мене цікавлять більше прикладів (максимально природних) алгоритмічних завдань у поліномічній стороні та (особливо) в більшій кількості прикладів на стороні НП.

2) Наївно виглядає, що сторона НП - це свого роду "сусідство" проблем, пов'язаних з NP, а P-сторона - "сусідство P". Чи правильно розуміти проблеми в стороні НП як «значно важчіші» порівняно з проблемами на П. Або навіть розцінювати проблеми на стороні НП як "морально важкі для НП"?

3) (Це може бути очевидним, але я цього не бачу) Чи є з обох сторін чи є теоретичні причини вважати, що такий малоймовірний. Оновити відповідь ТАК; див. відповідь Юваля Філімуса нижче.$X$$X$

(Якщо ці "сторони" пов'язані з реальними класами складності, і якщо я пропускаю якийсь відповідний куб-жаргон або відповідні результати, будь ласка, повідомте мене про це.)

Оновлення:На даний момент є кілька дуже хороших відповідей на питання. Як зазначав спочатку Юваль Філіус і знову згадується, питання не є формальним, і потрібне деяке обмеження аргументу, що свідчить про те, що X знаходиться на стороні P / NP. (В іншому випадку у вас може бути завдання X представити доказ для 0 = 1, який знаходиться з обох сторін.) Відклавши це, можливо, у випадку, коли проблеми X (поступово) на стороні NP якось захоплюють твердість SAT, хоча це може бути і у випадку деяких проблем на P-стороні, коли твердість SAT ослаблена (навіть незначно) доказовим чином. Юваль Філіус дав ослаблену версію SAT, яка є з обох сторін. Енді Друкер дав (у двох відповідях) п’ять цікавих прикладів, включаючи посилання на ієрархії Шенінга Низької та Високої, а Скотт Ааронсон дав подальші цікаві приклади, згадав питання про перевернення односторонньої функції, близької до захоплення твердості NP, але все ще на стороні P, і його відповідь також обговорює цікавий випадок КВАНТУВАННЯ. Я згадував старий такий результат від Фейге та Лунда.

Самі терміни "на стороні П" і "на стороні НП", і, звичайно, назва питання, спонукають нас уявити "затишний мікрорайон", що оточує П, і інший "затишний мікрорайон", що оточує проблеми НП. Однак я хотів би стверджувати, що ці два мікрорайони зовсім не такі "затишні"!

Першим спостереженням є проблеми «на стороні Р», які здаються «морально» набагато ближчими до NP-важких, ніж до P. Одним із прикладів, як передбачає Гіл, звичайно, є загальна проблема перевернення односторонніх функцій ( залежно від того, який тип скорочень дозволений; див. Богданов-Тревісан або Акавія та ін.).

І навпаки, також існують проблеми "на стороні НП", які здаються "довільно далекими" від того, щоб бути важкими для NP. Один нерозумний приклад - випадкова мова L, з вірогідністю 1 над L! Бо якщо такий L є в P, то 0 = 1 і математика непослідовна, і тому PH також руйнується. ;-D

(Зверніть увагу, що випадкова мова L також "знаходиться на стороні P", з ймовірністю 1 над L. Для майже всіх таких L є властивість, що якщо вони є NP-жорсткими, то NP⊆BPP і PH руйнуються. І це дає доказ, набагато простіший за звернення до теореми Ладнера, що існують мови з обох "сторін". Дійсно, це свідчить про незліченну нескінченність мов, "майже всі" з них - насправді на 100% - з обох боків!)

Це звучить як ігри для неповнолітніх, але я хотів би зробити з цього серйозне заняття. Я б заперечував, що, хоча КВАНТОВЕ ВИКОНАННЯ формально є "на стороні НП", ця проблема ледь не наближена до того, щоб бути "морально важким NP", ніж випадкова мова L. Архіпов і я (і незалежно Бремнер-Йосса-Пастух) показали, що, якщо КВАНТОВЕ ВЗРАБОТЕННЯ є в Р (а точніше, в SampBPP, клас задач вибірки з поліноміальною вирішенням), то P ^#P = BPP ^NP , а отже поліномальна ієрархія руйнується. Але якщо ви машина BPP, оракул для BosonSampling, наскільки ми знаємо, не наблизить вас до вирішення проблем, повних NP, ніж випадковий оракул. Тільки якщо ви вже маєте можливість вирішувати неповні завдання - скажімо,^NP- машина - ви "помічаєте", що оракул BosonSampling ще більше підвищує ваші можливості до # P. Але властивість збільшити NP до #P здається інакшою, ніж, можливо, навіть "ортогональною" властивістю бути NP-жорстким самостійно.

Між іншим, чудова відкрита проблема, запропонована питанням Гіла, чи не є BosonSampling також "на стороні П". Тобто чи можемо ми показати, що якщо NP знижується до BosonSampling, тоді PH руйнується? Хоча я можу пропустити щось очевидне, на перший погляд я не маю поняття, як довести таке, але більше, ніж я знаю, як довести сильніший наслідок, що якщо NP ⊆ BQP, то PH руйнується.

Два коментарі, жоден з яких не означає відповідь, але які можуть стати корисними для подальшого читання.

1) Шенінг визначив два класи проблем НП, названі "Низька Ієрархія" та "Висока Ієрархія", які пов'язані з Вашими уявленнями. Зокрема, проблеми у LowH є "на стороні P", а проблеми у HighH - на стороні NP. У цій рамках можна констатувати ряд відомих складних результатів. Наприклад, теорема Карпа-Ліптона говорить, що NP не знаходиться в P / poly, якщо PH не руйнується; це наслідок того, що NP P / poly міститься у фіксованому рівні LowH (як свідчить методика Карпа-Ліптона). Зауважте, що ми не очікуємо, що NP P / poly або LowH міститься в P. Для опитування щодо LowH, зокрема, див.$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) Розглянемо проблему, коли нам дано повну таблицю істинності булевої функції, і запитаємо, чи має булева схема певного розміру . Ця проблема є в NP, і навряд чи буде в P (це означало б кілька дивних наслідків). З іншого боку, доказ повноти NP для цієї проблеми, якщо вона підкоряється певним досить природним обмеженням, дасть нам нові потужні результати в теорії складності. Це показали Кабанець і Кай в$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Щоб було зрозуміло, немає жодних реальних доказів того, що ця проблема не є важкою для NP або що вона легка в будь-якому сенсі. Але це, здається, зовсім відрізняється від інших важких проблем НП. Я думаю, що це одне з найцікавіших кандидатів щодо проміжних проблем НП, а не одне з відомих.

Доказ Рассела Імпальяццацо про теорему Ладнера подає приклад для 3. Для повноти, я нижче копіюю визначення алгоритмічного завдання і накреслюю доказ того, що він знаходиться на "обох сторонах", в сильному сенсі: в обох випадках П.Х. згортається до P. Детальніше ви можете ознайомитись із пов’язаною заміткою (взятою з блогу Fortnow та Gasarch), яка (злегка) адаптована з додатку до Uniformly Hard Sets від Downey та Fortnow.$X$

Нехай - це перерахування всіх синхронізованих багатопотокових машин Тьюрінга, таким чином, що закінчується в часі . У подальшому ми згадаємо пари . Вони вважаються кодованими у вигляді двійкових рядків деяким розумним чином.M i n log log i ( α , β $M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

Рекурсивно визначаємо функцію . По-перше, . Враховуючи , визначається наступним чином. Нехай складається з усіх пар таких, що і - це задовольняюча формула. Якщо є двійковий рядок довжиною не більше таким, що тоді , інакше . Не важко перевірити, що можна обчислити в поліномії часу в .$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

Нарешті, ми можемо визначити алгоритмічну задачу : вона складається з усіх пар для яких є задоволеним CNF. Зауважте, що .$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

Якщо мав алгоритм багаточасної тоді для всіх і тому можна використовувати для вирішення SAT.$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

Далі, припустимо, було скорочення полімережі від SAT до , скажімо, час . Якби мав багаточастовий алгоритм, то, як ми бачили, PH згортається на P. В іншому випадку , зокрема, для . Таким чином, зменшення приймає будь-який примірник SAT розміром більше і або зменшує його до меншого екземпляра, або виводить рядок, що не має форми ; останній випадок може бути розпізнаний у polytime, оскільки - багаточасова. Ітерація$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$, ми отримуємо багаточастовий алгоритм для SAT.

Гіпотеза про те, що поліноміальна ієрархія не руйнується, була одним із найбільш родючих шляхів до відкриття в теорії складності. Багато з цих результатів можна виразити так, що конкретні алгоритмічні завдання знаходяться "на стороні Р" або "на стороні НП". Схоже, може мати набагато більше наслідків, ніж слабша гіпотеза , і неможливо було б виправити їх все в один короткий пост. Дозвольте лише навести три приклади, які дають невелике відчуття різноманітності цього твору.$PH$$P \neq NP$

1) Припустимо, нам подано схему з «воротами Oracle», яка робить два запити oracle під час будь-яких обчислень. Ми хочемо знати, чи приймає це під час запуску оракула . Звичайно, це твердий. Але припустимо, ми будемо задоволені, щоб зменшити схему до еквівалентної, яка робить лише один запит до . Чи навіть це завдання важке? Ми не знаємо, чи вирішити це може означати . Однак Кадін у 88 році показав, що це може зруйнувати Полі Ієрархію. Для огляду та покращеного результату дивіться цю статтю Fortnow, Pavan і Sengupta:$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

2) Припустимо, нам дано екземпляр розміру , з лише булевими змінними. Чи можемо ми ефективно "зменшити" до формули еквівалентної задоволеності величини, обмеженої деяким фіксованим многочленом в (незалежно від )? Це був би цінний крок попередньої обробки перед запуском алгоритму експоненціального часу. Таке зменшення також було б сильним вираженням думки про те, що твердість випливає насамперед із виміру простору пошуку рішення рішення.ψ m n ≪ m ψ n m S A $SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Відповідаючи на запитання Бодлендера, Дауні, стипендіата та Гермеліна, Fortnow та Santhanam показали, що таке зменшення стиснення малоймовірне, оскільки воно руйнує Полі Ієрархію:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Їх результат застосований до рандомізованих скорочень, що допускають однобічну помилку. Я довів відповідний результат для двосторонньої помилки в

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Кожен з цих робіт фактично дає більш сильну та конкретнішу інформацію, ніж результати, процитовані вище.)

3) Іноді ми хочемо довести проблему важко, використовуючи припущення про , але такий результат не здається найближчим. Іноді можна використовувати оракули, щоб пояснити, чому. Наприклад, ми хотіли б показати, що клас , який виражає твердість пошуку фіксованих точок безперервних функцій (і рівноваги Неша ігор), важко вважати, що нескінченний. Але Buhrman та ін. показав, що існує оракул який (і всі інші проблеми класу ) прості, але нескінченний:P P A D P H A P P A D A T F N P A P H $PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

Деякі люди заперечують важливість результатів оракула, але, я думаю, немає сумніву в тому, що вони можуть врятувати теоретиків складності від безрезультатних досліджень. Це, безумовно, один такий випадок. (В основному всі відомі докази форми " у згортаються" є релятивізуючими, AFAIK.) Це вказує на обмеження припущення про та важливість вивчення додаткових гіпотез.P ⇒ P H P $X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Я зіткнувся з цим результатом Фейге і Лунда, який показує, що якщо поліноміальна ієрархія не руйнується, важко вгадати навіть дуже часткову інформацію про постійну випадкової матриці.

Уріель Фейге та Карстен Лунд про твердість обчислення постійної випадкових матриць. Обчислювальна складність 6 (1996/1997) 101-132.

Дозвольте також зазначити два додаткові релевантні результати, представлені мені на увазі Урі Фейге:

Наступні два документи застосовують це в контексті кернелізації (алгоритми відслідковуваних фіксованих параметрів).

Ганс Л. Бодлендер, Родні Г. Дауні, Майкл Р. Стипендіати, Денні Гермелін: Про проблеми без поліноміальних ядер. J. Comput. Сист. Наук. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Нездатність стиснення екземпляра та стислих PCP для NP. J. Comput. Сист. Наук. 77 (1): 91-106 (2011)