Застосування ТКС до класичної математики?

Ми в TCS часто використовуємо потужні результати та ідеї класичної математики (алгебра, топологія, аналіз, геометрія тощо).

Наведіть кілька прикладів того, як він пішов навпаки?

Ось деякі я знаю (а також, щоб дати аромат того типу результатів, про який я запитую):

• Кубічні піни (Гай Кіндлер, Райан О'Доннелл, Ануп Рао та Аві Вігдерсон: кулясті кубики та округлення у великих розмірах, FOCS 2008)
• Програма теорії геометричної складності. (Хоча технічно це застосування алгебраїчної геометрії та теорії представлення до ТКС, їх спонукали впроваджувати нові квантові групи та нові суто алгебро-геометричні та теоретично-теоретичні ідеї в їх здійсненні П проти НП.)
• Робота над вбудованими метриками, натхненна алгоритмами наближення та результатами непереборності

Я, зокрема, не шукаю застосувань TCS до логіки (теорія кінцевих моделей, теорія доказів тощо), якщо вони не особливо дивують - зв'язок між TCS та логікою є занадто близьким та стандартним та історичним для цілей цього питання.

Експандери були розроблені значною мірою в TCS, і вони мають глибокі зв'язки та застосування до математики.

Існує доказ Двіра щодо кінцевої гіпотези Какея.

Милий приклад, який я знаю, - це стаття Майкла Фрідмана під назвою " Класи складності як математичні аксіоми ", яка дає сенс в області 3-багаторічної топології.$P^{\sharp P}\neq NP$

Принципи інваріації мотивовані твердістю наближення, але є корисними аналітичними теоремами. Принцип: Функція низького ступеня, в якій кожна зі змінних має невеликий вплив, поводиться майже однаково, незалежно від того, чи є вхідними даних незалежними випадковими змінними, або (відповідними) Гауссовими випадковими змінними. Це узагальнення теореми про центральну межу; там функція - середнє значення змінних.

Шумостійкість функцій з малим впливом: інваріантність та оптимальність Е. Моссель, Р. О'Доннелл, К. Олешкевич. Анали математики 171 (1), стор 295-341 (2010). FOCS '05.

Теореми тестування низького ступеня були мотивовані додатками PCP, але є цікавими алгебраїчними теоремами. Принцип: варіатна функція над кінцевим полем яке в середньому над лініями в , близьке в відстані Хеммінга до полінома низького ступеня на лінії , близька в відстані Хеммінга до полінома низького ступеня на весь .F F n F $n$$F$$F^n$$F^n$

Близькість відстані Хеммінга до полінома низького ступеня у певному просторі означає, що функція ідентифікується з поліномом низького ступеня на деякій незначній частці простору.

Поліпшене тестування низьких ступенів та його застосування . С. Арора та М. Судан. В ACM STOC 1997.

Тест низької ступеня ймовірності помилок і постійної помилки, а також характеристика PCP субконстантної помилки PC, NP , R.Raz, S.Safra, Процедура 29-го STOC, 1997, стор. 475-484

Хоча я є упередженим, я думаю, що справедливо сказати, що різні ідеї TCS сприяли прогресу в оберненій гіпотезі для норми Гоуерса, див., Наприклад, статтю Гріна та Дао .

Чи є теорія обчислюваності частиною TCS? Якщо так, то прикладом теорії обчислюваності та диференціальної геометрії Боб Соаре, який описує додатки результатів, отриманих із Csima, є прикладом.

Не знаю, чому посилання не відображається .... Тут: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Витяжки - це ще одне місце для пошуку. Наприклад, робота Барака-Кіндлера-Шалтіеля-Судакова-Вігдерсона'04 дає (серед іншого) вдосконалені конструкції графіків Рамзі (проблема, яка була відкрита на деякий час в дискретних математиках).

Де Вольф і Друкер згадують у своєму дослідженні про квантові докази про дивовижний зв’язок між складністю квантового запиту та -апроксимацією симетричних функцій поліномами.$\epsilon$

Конструкція розширювача Zig-Zag використовувалася для побудови різних цікавих прикладів груп із певними несподіваними властивостями, див. Мешулам-Вігдерсон , Розенман-Шалев-Вігдерсон . Сама конструкція є дуже цікавою з точки зору чистої математики, оскільки використовувала зовсім інші інструменти (мотивовані точки зору CS щодо ентропії) для побудови розширювачів, ніж попередні конструкції. (Однак, можливо, найвідоміша програма - це алгоритм журналу простору журналу TCS-Reingold для непрямої підключення .)

Зазначу ще кілька додатків:

Мабуть, найважливіший внесок ТКС у чисту математику - це мистецтво скорочень. Скорочення форми, використовуваної TCS в обчислювальній складності та інших місцях, являє собою математичну парадигму / інструмент, який більш розвинений в TCS порівняно з іншими областями математики.

Поняття ймовірнісного доказу: Тут я не маю на увазі імовірнісний метод (коріння якого є математикою, але має багато застосувань до CS), а скоріше те, що математичне твердження, як твердження, що вимагає певного числа, є простим, може надати доказ "поза будь-якими розумними сумнівами". Це концептуальний прорив, що відбувається від CS, хоча він не мав ще багато застосувань у практиці математики.

Конструктивний доказ Мозера Ломашської локальної леми використовує ідеї інформатики, дає новий доказ Ломаса Ломашської леми і вирішує проблему, про яку люди думають вже досить давно.

Метод бар'єрної функції Батсона-Спілмана-Срівастава має низку застосувань до геометрії та функціонального аналізу, що виникли в інформатиці, і є дуже оригінальною формою аргументу потенційної функції, що нагадує метод песимістичних оцінювачів. Більше того, це суперечить загальноприйнятій мудрості, що аналіз характерного многочлена випадкових матриць є нерозв'язним, і краще замість цього дивитися на матричні моменти.

Метод бар'єрної функції вперше був розроблений для доказу існування (і побудови в детермінованому поліноміальному часі) розщеплювачів графіків, що зберігають їх спектральні властивості. Такі розщеплювачі мотивовані алгоритмічними додатками: по суті, будь-який алгоритм, який потребує приблизно обчислення скорочень, може бути прискорений, подавши у якості введення розроблену версію вихідного вводу.

Крім методів розщеплення, цей метод мав численні застосування, багато з яких досліджував Ассаф Наор у цій роботі . Деякі видатні приклади - побудова зважених графіків розширювачів, приблизні розклади Іоана тотожності з меншою кількістю точок, зменшення розмірів підмножини / підпростори , версія принципу Бургена та обмеженого оберненості Цафрірі. Для всіх вищезазначених застосувань метод бар'єрної функції дає по суті чіткі межі, дає ефективний детермінований алгоритм на додаток до доказів існування і часто надає більш елементарний доказ, ніж попередні методи (хоча не без деяких волохатих розрахунків).$\ell_1^n$

Маркус, Срівастава та Спілман використовували Маркус, Срівастава та Спілман , щоб перейти до однієї з найвідоміших проблем у функціональному аналізі - проблеми Кадісона-Зінгера. . Ця проблема виникає з фундаментальних питань математичної фізики, але вона йде набагато далі - вона, як відомо, рівнозначна десяткам проблем у всій математиці. Не кажучи вже про те, що багато аналітиків (у тому числі Кадісон та Зінгер) навіть не думали, що проблема має позитивне вирішення (цитоване опитування Cassaza та ін. Спекулює на можливих контрприкладах).

Одним із прикладів, що спадає на думку, є теорема вбудовування Хігмана, і це групові теоретичні наслідки.

Теорема вбудовування Хігмена: Група G кінцево генерується рекурсивним поданням, якщо GF є підгрупою кінцево представленої групи.

(Зауважте, що ліва частина еквівалентності має обчислювальну складову, а права - чисто групова теоретична).

Значення випадковості , що пояснюється як "випадкова послідовність" і пов'язані з ними питання, були важливими в математиці, теорії ймовірностей та статистиці протягом століть. Теоретична інформатика (і теорія складності) пропонує дуже надійні глибокі та переконливі уявлення про розуміння випадковості.

У той час як імовірнісний метод почався в математиці, дерандомізація, що є важливою математичною концепцією, в основному розробляється в КС.

Це пов'язано з відповіддю Моріца .

Теорія автоматів та алгебраїчність

Теорія автоматів дала кілька цікавих результатів для характеристики алгебраїчності. Я згадую два з них, із посиланнями. Це аж ніяк не вичерпно.

1. Алгебраїчне закриття$\mathbb F_q(t)$

Нехай - поле раціональної функції над кінцевим полем з елементами , де для деяких простих і цілих . Нехай - кільце формального ряду потужностей над .$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

Можна охарактеризувати силові ряди, які є алгебраїчними над$\mathbb F_q(t)$ , тобто коренями монічного многочлена з коефіцієнтами в , використовуючи автоматико-теоретичний опис.$\mathbb F_q(t)$

Теорема (Кристол [1]). Формальний силовий ряд є алгебраїчним над тоді і лише тоді, коли послідовність дорівнює -автоматичний.$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

Власне, цей метод дозволяє дати характеристику алгебраїчного закриття . Відомо, що поле узагальнених силових рядів форми де є впорядкованим підмножиною , містить алгебраїчне закриття . Знову ж таки, узагальнені силові ряди, які є алгебраїчними, можна охарактеризувати, використовуючи автоматико-теоретичний опис.$\mathbb F_q(t)$

Теорема (Кедлая [2]). Узагальнений статечної ряд алгебраїчний над тоді і тільки тоді , коли послідовність є -quasi-автомат.$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. Трансцендентні числа

Автоматичні послідовності також використовуються для характеристики трансцендентальних чисел. Наприклад,

Теорема (Adamczewski & Bugeaud [3]). Нехай - ціле число . Нехай і нехай - послідовність цифр його базового представлення.≥ 2 x ∈ R x = { x i } ∞ i = 0$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. Якщо в кінцевому рахунку періодичний, то раціональний;$\mathbf x$$x$
2. Якщо є -автоматичним (але не в кінцевому рахунку періодичним), то є трансцендентним; b $\mathbf x$$b$$x$
3. Інакше, - алгебраїчне ірраціональне число.$x$

Звичайно, перший пункт - це дуже класичний результат!

Список літератури.

[1] Жиль Крістол. Ансамблі presque périodiques k-розвідувальні . У Теоретичній інформатиці 9 (1), стор 141-145, 1979.

[2] Кіран С. Кедлая. Кінцеві автомати та алгебраїчні розширення функціональних полів . In Journal de théorie des nombres de Bordeaux 18 , pp. 379-420, 2006. arXiv: математика / 0410375 .

[3] Борис Адамквескі, Ян Буге. Про складність алгебраїчних чисел I. Розширення в цілих основах . In Annals of Mathematics 165 (2), pp. 547-565, 2007.

У своїй програмі « Прямі лінії та точки кручення на еліптичних кривих» Ци Чен пов'язує конструкцію Бюргіссера (варіант -конструкції Шуба і Смала) до теореми Торсія та теореми Массера в області еліптичних кривих.$L$$\tau$

Дуже приблизно, якщо -конструкція є істинною (або слабшою її версією), то можна легко "вивести" ці обидві теореми. Їх оригінальні докази набагато складніше.$L$

¹ Конструкція стверджує, що якщо поліном має постійну вільну програму прямої лінії (або арифметичну схему) розміру , її кількість цілих коренів становить не більше для деякого абсолютного постійна .p τ ( 1 + τ ) c$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS - це галузь математики, і я б сказав це трохи ширше. Ми живемо в епоху алгоритміки, і майже всі, в усіх людських видах діяльності, вигадують / винаходять алгоритми, в основному евристику. Але деякі з цих алгоритмів 1. хороші; 2. містять (поховані) відповіді на глибокі математичні запитання; 3. Зачекайте професійного математичного аналізу / удосконалення / уваги. Мій особистий досвід: приголомшлива сила однієї евристики фізики / машинного навчання, а саме «Наближення Бете», як методики доказування. Основна проблема полягає в тому, що можливі подібні зустрічі відбуваються в основному в галузі, де ніхто не переймається тими розуміннями / відкриттями, які не пов'язані з продуктами.