Золоте співвідношення або Пі в час роботи

21

Є багато місць, де числа $\pi$ і $(1+\sqrt5)/2$ покажи. Мені цікаво дізнатися про алгоритми, час виконання яких містить золоте відношення або $\pi$ в експоненті.

reference-request big-list

— Пластун
джерело

4

Чи є якісь обчислювальні причини, щоб підозрювати, що це може? І не знаючи, де вона виникає, чи вважаєте ви, що має бути якесь розуміння, якщо воно дійде?

— Ніль де Бодорап

13

Золоте співвідношення виникає при аналізі складності програм, подібних за рекурсивною структурою до рекурсії, яка бере участь у числах Фібоначчі :

.

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

— Мартін Бергер

11

Fortnow і Melkebeek час / простір нижньої межі для SAT можливості розв'язання містила золотий перетин (

часу і

простір); але згодом показник був поліпшений Райаном Вільямсом.

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi

2

@MarzioDeBiasi Я думаю, що ваш коментар дає хорошу відповідь, навіть якщо результат був покращений. Цікавим є те, що є аналіз, який дає золоте співвідношення в показниках

— Сашо Ніколов

1

@NieldeBeaudrap Я сподіваюся, що серед прикладів з'явиться певна модель. Наприклад, показник e з'являється в багатьох місцях в рандомізованих алгоритмах. Мене це не здивувало, оскільки я знаю, що вид діяльності з кульковими кошиками призводить до відповідей, які стосуються е. Мені було цікаво, чи можна щось подібне сказати про алгоритми, які мають золоте співвідношення у часи роботи.

— Пластун

22

Це основа, а не експонент, але є обмежений час FPT $O(\varphi^k n^2)$

" Ефективний алгоритм з фіксованим параметром для односторонньої мінімізації схрещування", Віда Дуймович, Сью Уайтсайдс, Алгоритміка 40: 15–31, 2004.

Крім того, це нижня межа, а не верхня межа, але:

« нижньої межі часу для імітації однієї черги або два Pushdown магазину від однієї стрічки », Пол MB Vitányi, Inf. Зб. Лет. 21: 147–152, 1985. $n^{1.618}$

Нарешті, те, що я намагався знайти, коли я натрапив на ці два інші: дерево сандвіч шинки, застаріла структура даних в обчислювальній геометрії для запитів трикутного діапазону, має час запиту . Тож золоте співвідношення належним чином в експоненті, але з колодою, а не як само собою. Структура даних являє собою ієрархічний розподіл площини на опуклі клітини, із загальною структурою двійкового дерева, де кожна клітина та її побратими на дереві діляться бутербродним зрізом. Час запиту визначається рецидивом $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ , що має вищевказане рішення. Це описано (з більш нудною назвою) $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

" Напівплановий пошук діапазону в лінійному просторі та час запиту $O(n^{0.695})$ ", Герберт Едельсбруннер, Емо Вельцл, Інф. Зб. Лет. 23: 289–293, 1986.

— Девід Еппштейн
джерело

1

Я не впевнений, що мені було б зручно сказати, що

має

в експоненті.

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

18

(з мого коментаря вище)

Fortnow і Melkebeek час / простір нижньої межі для SAT можливості розв'язання ( часу і простір) містив золотий перетин в показнику; алепізнішеце буловдосконалено Райаном Вільямсом. $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Марціо Де Біасі
джерело

5

Поки Райан Вільямс псував ваш приклад Fortnow і Melkebeek, він також надав ще один в тому ж полі: у cs.cmu.edu/~ryanw/automated-lbs.pdf він показує, що немає жодних доказів почергової торгівлі

.

c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

— Еміль Єржабек підтримує Моніку

15

Також в базі, а не в експоненті: алгоритм Монієна-Шпекенмейєра для 3-SAT має час роботи . Це була перша нетривіальна верхня межа для 3-SAT. $\varphi^n\cdot O(n)$

— Ян Йогансен
джерело

10

Інший приклад в основі - алгоритм Андреаса Бьерклунда та Тора Хасфельдта для обчислення парності числа спрямованих гамільтонових циклів, що проходить у часі . $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— Тайсон Вільямс
джерело

9

Також у базі: Алгоритм видалення – стиснення (Zykov, 1949) для обчислення кількості кольорових забарвлень працює за часом . Це дуже канонічний приклад того, як золоте співвідношення з'являється від повторення Фібоначчі за час виконання оцінки природного рекурсивної формули; Я впевнений, що це найстаріший. $O(\phi^{|E|+|V|})$

Мікко Койвісто знайшов алгоритм для обчислення кількості ідеальних відповідностей (IWPEC 2009). $O(\phi^{|V|})$

— Торе Хусфельдт
джерело

8

Золотий раціон в основі: Дуже недавній алгоритм FPT Коцюмака і Пилипчука, Швидше детермінований зворотний зв'язок Vertex Set обчислює FVS розміром за . (Потім вони вдосконалюють свій алгоритм для виконання часу .) $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$

— vb le
джерело

-2

розширити коментар Мартіна Бергерса: древнє евклідовий алгоритм GCD працює в гіршому випадку на двох послідовних елементах з послідовності Фібоначчі. Детальніше про Вікіпедію, де також зазначено:

Цей доказ, опублікований Габріелем Ламе в 1844 р., Являє собою початок теорії складності обчислювальної техніки [93], а також перше практичне застосування чисел Фібоначчі. [91]

$O(\log(n))$ але золоте співвідношення відображається в кількості кроків алгоритму.

[1] яка часова складність алгоритму Евкліда, математика

— взн
джерело

Як відрізняється час та кількість кроків?

— Ніколас Манкузо

вибачте, що слід прочитати # арифметичних операцій

— vzn

1

Ламе

\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$ обмежено на кількість ітерацій основного циклу (або кількість рекурсій, залежно від формулювання алгоритму). Час роботи алгоритму -

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$ (це є,

O (n^{2})

$O(n^2)$ з точки зору довжини введення).

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

дивіться посилання. "дозволяє

T (a, b)

$T(a,b)$ - кількість кроків, виконаних в алгоритмі Евкліда.

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$ "

— vzn

1

Я не знаю, про яке з посилань ви маєте на увазі, але все одно я просто уточнюю, що тут означає «крок», щоб це мало сенс. Зауважте також, що писати

O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$ безглуздо, як логарифми в будь-яких двох основах

O

$O$ один одного.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку