Еквівалентні визначення конструктивності часу

Ми говоримо, що функція може бути сконструйована за часом , якщо існує детермінований багатоступеневий апарат Тюрінга який на всіх входах довжини робить не більше кроків і для кожного існує деякий вхід довжини на якому робить різко кроки.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$n f ( n ) n n M f ( n $M$$n$$f(n)$$n$$n$$M$$f(n)$

Ми говоримо, що функція може бути повністю сконструйована за часом , якщо існує детермінована багатосмугова машина Turing яка на всіх входах довжиною робить рівно кроків .$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$n f ( n $M$$n$$f(n)$

Q1: Чи існує функція, яка може бути сконструйована за часом і не повністю сконструйована за часом?

Відповідь - так (див. Цю відповідь ), якщо . Чи можна посилити умову "так" до ? Чи можна «так» довести?P ≠ N $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$$P\neq NP$

Q2: Чи змінюється клас (повністю) придатних для виконання функцій часу, якщо у визначенні ми допускаємо лише 2-стрічкові машини Тьюрінга?

Q3: Які "доказові" причини вважають, що всі приємні функції можна повністю сконструювати за часом?

Стаття
Kojiro Kobayashi: Про доведення часової конструкційності функцій. Теорія. Обчислення. Наук. 35: 215-225 (1985)
частково відповідає Q3. Часткове резюме та оновлення його є у цій відповіді . Я приймаю Q3 як відповідь.

Історично поняття функції обчислюваного в реальному часі використовувалося замість (повністю) конструюваного часу. Детальніше див. У цьому питанні .

В останні кілька днів я багато думав про (повністю) конструювані часом функції, і я представлю те, що я дізнався, відповідаючи на Q1 та Q3. Q2 здається занадто важким.

Q3:

Кобаяші у своїй статті (посилання є у запитанні) довів, що функція , для якої існує st , повністю сконструйований за часом, якщо він обчислюється за час . (зауважте, що не має значення, чи вхід чи вихід є одинарними / двійковими, оскільки ми можемо перетворити між цими двома поданнями в лінійний час). Це робить наступні функції повністю конструктивними за часом: , ,, , усі поліноми над st ϵ > 0 f ( n ) ≥ ( 1 + ϵ ) n O ( f ( n ) ) 2 n 2 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\epsilon>0$$f(n)\geq (1+\epsilon)n$$O(f(n))$$2^n$ n! n⌊logn⌋pNp(n)≥(1+ϵ)n(1+ϵ)nn+⌊$2^{2^n}$$n!$$n\lfloor \log n \rfloor$$p$$\mathbb{N}$$p(n)\geq (1+\epsilon)n$... Кобаяші також довів повну конструктивність часу для деяких функцій, які ростуть повільніше, ніж , як для ...$(1+\epsilon)n$q ∈ Q$n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$$q\in\mathbb{Q}^+$

Для продовження прикладів функцій, повністю сконструйованих за часом, можна довести, що якщо і повністю сконструйовані за часом, то , , і також повністю конструюються часом ( пізніше випливає безпосередньо з теореми 3.1 Кобаяші). Це мене цілком переконує, що багато приємних функцій справді можна повністю сконструювати за часом.f 2 f 1 + f 2 f 1 f 2 f f 2 1 f 1 ∘ f $f_1$$f_2$$f_1+f_2$$f_1f_2$$f_1^{f_2}$$f_1\circ f_2$

Дивно, що Кобаяші не бачив способу довести повністю конструктивність часу (приємної) функції (і я ні).$\lfloor n\log n\rfloor$

Прокоментуємо також визначення зі статті Вікіпедії : Функція може бути сконструйована за часом, якщо існує машина Тьюрінга яка, задавши рядок , виводить за час . M 1 n f ( n ) O ( f ( n ) $f$$M$$1^n$$f(n)$$O(f(n))$ Ми бачимо, що це визначення еквівалентне нашому визначенню повністю конструктивної за часом функцій .$f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

На це питання є дійсно цікава відповідь. Я стверджую, що якщо всі функції, які можна сконструювати за часом, можна повністю сконструювати час, то . Щоб довести це, візьмемо довільну задачу , . Тоді існує , st може бути вирішено NDTM у кроки. Можна припустити, що на кожному кроці переходить в максимум два різні стани для простоти. Тепер визначимо функцію L ∈ N E X P - T I M E L ⊆ { 0 , $EXP-TIME=NEXP-TIME$$L\in NEXP-TIME$$L\subseteq\{0,1\}^*$$k\in\mathbb{N}$$L$$M$$2^{n^k-1}$$M$

$$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$$

Я стверджую, що може бути сконструйованим часом. Розглянемо наступну детерміновану машину Тюрінга :$f$$T$

• при введенні довжини він обчислює у час$w$$n$$\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$$O(n)$
• то вона імітує на цих бітах, де біти визначають, який (раніше недетермінізований) вибір вибрати.$M$$w$
• прийняти iff .$\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

Зауважте, що довжини ( ) достатньо, щоб вона визначала всі недетерміновані варіанти, оскільки на вході робить не більше кроків.$w$$=n$$M$$\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$$n$

Ми можемо зробити запуск не більше кроків. Тепер наступна машина Тьюрінга доводить, що можна сконструювати за часом:$T$$8n+1$$f$

• на вході довжини пробіг і паралельно підраховуйте кроки, так що кроків.$w$$n$$T$$8n$
• якщо відхилено або буде відхилено на наступному кроці, перейдіть до стану зупинки на наступному кроці. Ще, зробіть ще один крок і перейдіть до стану зупинки.$T$

Тепер припустимо, що повністю може бути сконструйований за часом. Ми доведемо, що це призводить до .$f$$EXP-TIME=NEXP-TIME$

Наступний алгоритм вирішує :$L$

• на вході нехай - число з двійковим поданням ( нулі). Звідси випливає, що .$x$$n$$x00\ldots 0$$|x|^{k-1}$$x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
• обчисліть у часі і перевірте, чи воно ділиться на 2.$f(n)$$f(n)$

Цей алгоритм працює в експоненційному час і вирішує . Оскільки було довільним, .L ∈ N E X P - T I M E E X P - T I M E = N E X P - T I M $L$$L\in NEXP-TIME$$EXP-TIME=NEXP-TIME$