Наслідки ?

Хоча теорема Адлемана показує, що , я не знаю жодної літератури, що досліджує можливе включення . Які складні теоретичні наслідки матиме таке включення? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ $\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$

Теорему Адлемана іноді називають "родоначальником аргументів дерандомізації". Вважається, що не може бути дендандомізованим, тоді як немає ніяких доказів того, що "квантовість" могла б якось зняти. Чи можливі це докази того, що навряд чи буде в ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P}/\text{poly}$

— Мартін Шварц
джерело

Я б сказав, що у нас немає вагомих причин думати, що BQP знаходиться в P / poly. У нас є підстави думати, що BQP не в P / poly, але вони більш-менш ідентичні нашим причинам думати, що BQP ≠ BPP. Наприклад, якщо BQP⊂P / poly, то факторинг знаходиться в P / poly, що достатньо, щоб розбити багато криптовалют відповідно до стандартних визначень безпеки.

Крім того, як ви правильно зазначаєте, немає квантового аналога хитрості Адлемана --- дійсно, немає способу "вивести квантовість з квантового алгоритму", аналогічно тому, як можна витягнути випадковість з рандомізованого алгоритму. Тому я не думаю, що хтось здогадується, з чого навіть має складатися рада P / poly щодо імітації квантового комп'ютера (більше, ніж вони здогадуються, скажімо, у випадку NP проти P / poly).

Остаточне зауваження: моя робота з Олексієм Архиповим (і незалежна робота Бремнера-Йосса-Пастуха) можна легко адаптувати так, щоб показати, що якщо КВАНТОВЕ ВІДПРАВЛЕННЯ є в P / poly (ОК, в "BPP-SAMPLING / poly") , тоді P ^#P ⊂BPP ^NP / poly, а значить, поліноміальна ієрархія руйнується --- в цьому випадку, я думаю, до четвертого рівня. Наразі, однак, ми не знаємо, як адаптувати такий результат від проблем вибірки до проблем вирішення.

— Скотт Ааронсон
джерело

Дуже дякую за відповідь, Скотт! Мене цікавить одне: які відомі результати стосуються P ^ # P із рівнями PH / poly? Що насправді відомо про P ^ # P проти PH / poly? (наприклад, є якась неоднорідна версія теореми Тоди?). Чому P ^ # P у PH / poly згортається PH / poly, якщо ми не знаємо PH / poly в P ^ # P? Або чого я пропускаю?

— Мартін Шварц

Тут потрібно зробити узагальнення доказів теореми Карпа-Ліптона. В якості першого кроку не важко показати (використовуючи міркування у стилі KL), що якщо coNP знаходиться в NP / poly, то PH руйнується до 3-го рівня. Але тоді це має відновитись, щоб показати, що якщо coNP ^ NP ^ NP знаходиться в NP ^ NP ^ NP / poly, то PH руйнується до 5-го рівня. І звичайно P ^ # P в BPP ^ NP / poly означає coNP ^ NP ^ NP в NP ^ NP ^ NP / poly. Але хм, я тут лише отримую крах до 5-го рівня! Якщо припустити, що це правильно, чи може хтось покращити його до краху 4-го рівня? (Якщо ні, то це "найвищий" колапс PH, який я коли-небудь бачив! :))

— Скотт Ааронсон

3-й рівень зробимо. І і Карп - Ліптон релятивізуються, тому спочатку , і по-друге, якщо , то .

B P P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{BPP}\subseteq\mathrm P/\mathrm{poly}$

{B P P}^{N P} / p o l y = P^{N P} / p o l y

$\mathrm{BPP}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}=\mathrm{P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{2}^{P} \subseteq {(B P) P}^{N P} / p o l y

$\Sigma^P_2\subseteq\mathrm{(BP)P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{3}^{P} = Π_{3}^{P}

$\Sigma^P_3=\Pi^P_3$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

(І різні відомі посилення KL також відносяться до цього питання, зокрема припущення вище фактично PH до , за винятком того, що я ніколи не бачив з індексом, окрім 2, так що це, мабуть, нестандартне позначення.)

S_{3}^{P} \subseteq Z P P^{N P^{N P}} \subseteq Σ_{3}^{P} \cap Π_{3}^{P}

$S^P_3\subseteq\mathrm{ZPP^{NP^{NP}}}\subseteq\Sigma^P_3\cap\Pi^P_3$

S^{P}

$S^P$

— Еміль Йеребек підтримує Моніку