Що відомо про складність пошуку мінімальних схем для SAT?

Що відомо про складність пошуку мінімальних схем, які обчислюють SAT до довжини ? $n$

Більш формально: яка складність функції, яка при введенні виводить мінімальну ланцюг таку, що для будь-якої формули з , ?$1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Мене спеціально цікавлять нижчі межі.)

Наївний детермінований алгоритм (обчислити SAT по грубій силі до довжини , а потім спробувати всі схеми в порядку розміру, поки не знайдеш той, що правильно обчислює SAT до довжини n ), для обчислення SAT буде потрібно ≤ 2 O ( n ) час, а потім додатковий час O ( 2 n 2 M ) для пошуку мінімальної ланцюга, де M - розмір мінімальної ланцюга. $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Чи існує детермінований алгоритм, який знаходить мінімальні схеми для SAT, час роботи якого , де M - розмір мінімальної ланцюга? Або це означає, що якась складність руйнується?$o(2^n 2^M)$$M$

Ось дві речі, які, хоч і пов’язані з моїм запитанням, напевно не те, про що я питаю (це, я думаю, чому мені було важко шукати):

• Схема завдання мінімізації: дана ланцюг (або функція F задається її таблицею істинності, або кілька інших варіантів) знайти мінімальну схему C ' обчислювальну ту ж функцію, що і C . Навіть якби мінімізація ланцюга була простою, це не обов'язково означало б, що вищезазначене завдання є простим, оскільки навіть обчислення функції, яку ми хочемо мінімізувати (SAT до довжини n ), вважається важким, тоді як у проблемі мінімізації ланцюга функцію ми Хочете, щоб мінімізація безкоштовна (вона задається як вхід).$C$$f$$C'$$C$$n$

• проти P / p o l y . Моє запитання не лише в тому,який розмірмає мінімальна схема; йдеться про складність пошуку мінімальної схеми незалежно від її розміру. Очевидно, якщо ми можемо обчислити мінімальні ланцюги в поліноміальний час, то N P ⊆ P / p o l y (і насправді N P ⊆ P , оскільки тоді сімейство ланцюгів є P -уніформою), але зворотне не повинно бути правдою. Дійсно, я вважаю, щоІмерман і Маханіпершими побудували оракул, де$NP$$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$ але P ≠ N P - тобто N P має схеми розміру полінома, але їх не можна знайти в поліноміальний час.$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

Припустимо, що SAT не можна вирішувати набагато швидше не рівномірно, ніж рівномірно. Тобто, існує TM M, що вирішує SAT в часі T (n), і найменша схема для SAT має розмір T '(n), який не набагато менший, ніж T (n) (скажімо, - зокрема це справедливо, якщо найменша схема для розв’язання SAT має розмір 2 Ω ( n ), що цілком може бути правдою).$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

Отже, ви можете отримати "майже" мінімальну схему, просто виконавши якесь канонічне моделювання М ланцюгом, в часі це в основному оптимально (стільки часу, скільки потрібно для написання виводу). Тільки з цієї причини, я здогадуюсь, не буде нижньої межі для цього питання на основі будь-якого "приємного" припущення. Однак я не знаю, як перейти від «майже мінімального» до фактично мінімального. Один із способів зробити це - використовувати той факт, що пошук схеми до розміру є питанням в ієрархії поліномів,$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$ .$T(n)=2^{n^{o(1)}}$