Посилання на фундаментальну теорему про обертання дерев

13

Кажуть, що два бінарних дерева пошуку є лінійно еквівалентними, коли вони погоджуються в їх порядку замовлення. Наступна теорема пояснює, чому обертання дерев настільки принципові:

Нехай A і B - двійкові дерева пошуку. Тоді A і B є лінійно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли вони з'єднані послідовністю обертів дерев.

Я помітив цей результат, коли давно вперше дізнався про структури даних і хотів глибше зрозуміти особливості статусу обертання дерев.

Доказ простий та інтуїтивно зрозумілий: поверніть найменший елемент до положення кореня вздовж лівого хребта. За інваріантним порядком це перегруповане дерево не може мати лівого піддерева. Тепер повторіть праворучне піддерево. Результат - це нормальна форма для тестування лінійної еквівалентності.

Хоча це основна теорема, я ніколи не стикався з нею в літературі. Я дуже вдячний для наступного разу, коли мені потрібно використовувати цей результат.

(Бонусний тизер мозку: який найкращий алгоритм пошуку найкоротшої послідовності обертів дерев, які з'єднують два лінійно еквівалентні двійкові дерева пошуку?)

reference-request ds.data-structures

— Пер Вогсен
джерело

Інше місце, на яке можна звернути увагу, може бути посиланням на те, що модуль еквівалентності асоціативного оператора визначається, оскільки це означає те саме. Однак усі згадки, які мені відомі, сприймають цей факт як належне.

— Роб Сіммонс

10

Як Девід Епштайна вказує тут , навіть знайти найкоротший шлях для бінарних дерев , невідомо, в P. У коментарях до цієї відповіді він пов'язує з кращими поточними межами

— Суреш Венкат
джерело

Я приймаю цю відповідь, оскільки дізнався щось із неї. Однак я все одно хотів би знайти посилання на теорему про структуру, якщо хтось її знає.

— Пер Вогсен

11

Старовинна стаття, яка чітко зробила це спостереження - що обертання зберігають внутрішні обходи, - це (на малюнку 2) Шпатор і Тарджан 1983 р. Самоналагоджувані двійкові дерева пошуку . Евристика з основним рухом була вивчена в папері Аллена та Манро 1978 року про самоорганізовані двійкові пошукові дерева .

— Лев Рейзін
джерело

Цікавий напрямок еквівалентності Пер полягає не в тому, що обертання зберігають порядок, а в тому, що ви можете пересуватися між двома деревами, які мають однаковий порядок, використовуючи обертання.

— Раду ГРИГо

Так - саме тому я включив корінь переходу. Також є ще один документ від Sleator, Tarjan та Thurston (відстань обертання, трикутники та гіперболічна геометрія), в якому обчислюються відстані між будь-якими двома деревами, які я не включив у свою відповідь. Я не думаю, що спостереження Пер є в жодному документі таким, як є, але я хотів би, щоб він був неправильним.

— Лев Рейзін

Правильно, легкий напрямок є необхідною частиною доказів правильності дерев AVL, 2-3 дерев тощо. Протилежний напрямок є глибшим. Це говорить про те, що для повноти вам не потрібні будь-які трансформації, що зберігають структуру, крім обертів дерев.

— Per Vognsen

5

$O(1)$ $O(1)$

Джоан М. Лукас, графік обертання бінарних дерев - це Гамільтоніан, Журнал алгоритмів, Том 8, Випуск 4, грудень 1987, Сторінки 503-535, ISSN 0196-6774, DOI: 10.1016 / 0196-6774 (87) 90048-4 .

Більш простий доказ, також конструктивний, простішого факту того, що в графі обертання існує гамільтонів шлях, можна знайти в цій пізнішій роботі, співавторованій Лукасом та її співробітниками.

Lucas JM, Vanbaronaigien DR, Ruskey F., Про обертання та покоління бінарних дерев, Journal of Algorithms, Volume 15, Issue 3, November 1993, Pages 343-366, ISSN 0196-6774, DOI: 10.1006 / jagm.1993.1045 .

— Маверик Ву
джерело

-2

Більш простий доказ, також конструктивний, простішого факту, що в графі обертання виходить гамільтонів шлях, можна знайти в цьому останньому.

— 007сінш
джерело

4

Ваша відповідь здається неповною?

— Джеремі