Знаходження найближчої пари між двома множинами точок на гіперкубі

З огляду на дві підмножини -вимірного гіперкуба (тобто, ), я шукаю алгоритм, який отримує точки й відстані забивання (або -відстань на гіперкубі) мінімальна. Наївний алгоритм, який перевіряє лише кожну пару, потребує час, чи відомий якийсь кращий результат? $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$

Для простоти можна припустити, що . $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— HdM
джерело

хммм. чи є ще мотивація / застосування? підозрюєте, що є багатовимірний аналог цього евклідового / планарного алгоритму, але Вікіпедія не цитує нічого і не хотіла про нього в іншому місці .... це може допомогти шукати алгоритм для n-dim векторів. на початку статті, здається, стверджується, що її можна вирішити в для більш високих розмірів але не дає цитування. може десь у реф.

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

Аргумент ділення та перемоги спирається на зв'язану упаковку. У більш високих вимірах це вводить коефіцієнт у повторення, але залежність від залишається тією ж. Тож якщо ви не заперечуєте проти термінів, експоненціальних у , ви можете використовувати такий підхід. Якщо ви хочете чогось точного, ви навряд чи зможете зробити щось краще.

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Суреш Венкат

дивіться також пошук найближчого сусіда

— vzn

Це здається малоймовірним. Подумайте про n + m випадкових рядків на гіперкубі. Якось відстань забивання кожної пари становить приблизно d / 2, і вам потрібно перевірити всі пари, щоб знайти найближчу пару.

— Саріель Хар-Пелед

@ Саріель Хар-Пелед: Як писав Суреш, проблему можна вирішити за час O (n log n) (де n = max {| M |, | N |}) для будь-якої постійної d. Тому "ви повинні перевірити всі пари, щоб знайти найближчу пару" для мене не звучить правильно.

— Цуйоші Іто

Відповіді:

Щойно зрозумів, що ти просиш справи, що . Тоді ви можете робити матричне множення, правда? Запишіть - матрицю рядків , як матрицю стовпців , заперечуйте записи і обчисліть матрицю . Очевидно, що є відстанню Хеммінга між - їм точкою і - й точкою . Відповідно до останнього прориву, це має час роботи (але у мене є рукопис на 50 000 сторінок, який показує, як зробити це матричне множення в $|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$ час по справжньому простому алгоритму).

Подібний ефект можна отримати, якщо матриці не є квадратами. Я думаю, що Урі Цвік в цій справі має статтю про швидке множення матриць.

У певному сенсі це не надто цікаво - ми хочемо уникати терміну . Поліпшення терміну " - це щось на зразок мех, мех ... $O(|M| * |N|)$ $d$

— Саріель Хар-Пелед
джерело

Чудова знахідка. З іншого приводу, мій колега знайшов цей документ: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf, і лише зараз я усвідомлюю, що це було написано вами. Сторінка 17+ особливо цікава ..

— HdM

Так. Виглядає звично - але зауважте, що це наближення - Суреш попросив точного результату ...

— Саріель Хар-Пелед

-3

$L_\infty$ $L_m$ $L_1$ $O(dn \log n)$ $d$

[1] Оптимальний алгоритм для приблизного пошуку найближчого сусіда у фіксованих розмірах Arya et al, 30pp

[2] Ефективні найближчі сусіди, які шукають гіпер-куб, із додатками для молекулярної кластеризації Казалів

— взн
джерело

Ω (d^{d})

$\Omega(d^d)$