NC = P наслідки?

35

Зоопарк складності вказує у записі на EXP, що якщо L = P, тоді PSPACE = EXP. Оскільки NPSPACE = PSPACE від Savitch, наскільки я можу сказати, основний аргумент прокладки поширюється на те, що Ми також знаємо, що L NL NC P через змінну ієрархію, обмежену ресурсами Ruzzo.

(NL = П) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

Якщо NC = P, чи випливає це PSPACE = EXP?

Інша інтерпретація питання, в дусі Річарда Ліптона: чи більш ймовірно, що деякі проблеми в Р не можуть бути паралельними, ніж те, що жодна процедура експоненціального часу не потребує більше, ніж поліноміальний простір?

Мені також були б цікаві інші "дивовижні" наслідки NC = P (чим більше навряд чи краще).

Редагувати: Відповідь Райана призводить до подальшого питання: яка найслабша гіпотеза, яка, як відомо, гарантує PSPACE = EXP?

В. Савич. Взаємозв'язки між недетермінованими та детермінованими складностями стрічки, Journal of Computer and System Sciences 4 (2): 177-192, 1970.
В. Л. Руццо. Про рівномірність складності схеми, Журнал комп'ютерних та системних наук 22 (3): 365-383, 1971.

Редагувати (2014): оновлене старе посилання на зоопарк та додані посилання для всіх інших класів.

cc.complexity-theory conditional-results

— Андраш Саламон
джерело

1

Оскільки я впевнений, що я не єдиний, хто не знає, що таке NC, ось посилання: en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— Еміль

@Andras: Ще одним наслідком, який, можливо, ви вже знаєте, але про нього ще не було сказано, є те, що тоді ієрархія

N C

$\mathsf{NC}$ руйнується, оскільки

P

$\mathsf{P}$ має повні проблеми при

L

$\mathsf{L}$ зменшенні.

— Джошуа Грохов

28

Так. можна розглядати як клас мов , визнаний чергуючи машини Тьюринга , що використання простір і раз. (Це вперше було доведено Руццо.) - клас, де чергуючі машини Тьюрінга використовують простір але можуть зайняти до часу. Для стислості назвемо ці класи $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ і . $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

Припустимо, два класи рівні. Замінивши на у вищезазначеному (тобто застосувавши стандартні леммати перекладу), виходить $n$ $2^n$

. $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

Якщо то також, оскільки в є -повні мови " . $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

Редагувати: Хоча наведена вище відповідь, можливо, більш навчальна, ось простіший аргумент: вже випливає з " міститься в полілогічному просторі" та стандартного перекладу. $EXP = PSPACE$ $P$ Примітка « міститься в полілог просторі» є набагато слабкіше , ніж гіпотеза , . $P$ $NC = P$

Детальніше: Оскільки сімейства ланцюгів мають глибину для деякої постійної, кожне таке сімейство ланцюгів може бути оцінене в просторі . Звідси . Тож означає $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ . Застосовуючи переклад (заміна з ) тягне . Існування -повної мови в закінчує аргумент. $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

Оновлення: Адресуючи додаткове запитання Андреаса, я вважаю, що слід довести щось на кшталт: iff для всіх , кожна поліноміально рідка мова в час вирішується в полілогічний простір. (Бути поліноміально розрідженим означає, що в мові існує максимум рядків довжиною , для всіх $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ .) Якщо це правда, то доказ, ймовірно , йти вздовж ліній Хартманіс, Іммерман, і доказ Sewelson, що тоді і тільки тоді кожен полиномиально розрідженого мови в містяться в . (Зауважте, часу часу в полілогічному просторі все ще достатньо, щоб мати на увазі ) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— Райан Вільямс
джерело

1

Дякую за гарну відповідь. Теорія обчислень Декстера Козена має гарне "рівномірне" позначення для класів Руццо на сторінці 69:

де

обмежує простір,

обмежує час і

чергує чергування. Тоді

тоді як

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

який дійсно підкреслює побудову.

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— Андраш Саламон

1

Зауважте, що я кажу

вище. Однак я думаю, що це те саме. Машина, яка займає поліноміальний час та

простір, але робить лише

чергування, може бути перетворена на іншу чергуючу машину, яка займає лише

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

час і

простір. (Інший напрямок очевидний.) Ідея полягає в тому, щоб вставити більше чергувань, щоб кожна екзистенціальна фаза многочлена та універсальна фаза «пришвидшилася» для запуску лише в

час та

просторі , по лінії теореми Савича.

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Райан Вільямс

6

нам потрібен якийсь скрипт з жирмоскій ключем, який автоматично пов'язує щось на зразок "\ NP" із записом у зоопарку.

— Суреш Венкат

12

(Я бачив відповідь Райана, але просто хотів надати іншу точку зору, яка була занадто довгою, щоб вписатися в коментар.)

У доказі все, що вам потрібно знати про L, неофіційно - це те, що коли його підірвано експоненціалом, L стає PSPACE. Це ж доказ стосується і NL, оскільки НЛ, підірвана експоненцією, також стає ПСПАСЕ. $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

Аналогічно, коли NC підірвається експоненціалом, ви отримуєте PSPACE. Мені подобається бачити це з точки зору схем: NC - клас мікросхем розміру поліномів з глибиною полілогу. Коли підірвано, це набуває схеми експоненціального розміру з поліноміальною глибиною. Можна показати, що це саме PSPACE, як тільки будуть додані відповідні умови рівномірності. Я здогадуюсь, якщо NC визначено з L-рівномірністю, то це отримає PSPACE-рівномірність.

Доказ має бути простим. В одному напрямку візьміть задачу, повну PSPACE, як TQBF, і висловіть квантори, використовуючи ворота AND і OR експоненціального розміру. В іншому напрямку спробуйте пройти рекурсивно по поліноміальній глибині. Розмір стека буде многочленним, тому це можна зробити в PSPACE.

Нарешті, я прийшов до цього аргументу, коли побачив питання (і перед тим, як прочитати відповідь Райана), тому можуть виникнути помилки. Будь ласка, вкажіть їх.

— Робін Котарі
джерело

1

Одне виправлення: NC має схеми розміру полінома та глибини полілогу, але це все ще лише поліноміальна глибина після перекладу.

— Райан Вільямс

@Ryan: Ти маєш рацію. Я це виправлю.

— Робін Котарі

1

Ось трохи більше деталей з точки зору моделювання машини, що обмежується часовим простором.

Припустимо , що . $P = NC$

Оскільки , отримуємо $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

П = А Т Я S П ((журнал (н))^{О (1)}, О (журнал (н))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

Тепер розглянемо лінійне час завдання універсального моделювання , де задана кодування на машині Тьюринга і вхідного рядка довжини , і ми хочемо знати , якщо приймає НЕ більш ніж в кроків. $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

Ми знаємо , що . Тому існує константа (досить велика) така, що $LinU \in P$ $c$

(*) L i н U \in А Т Я S П ({журнал}^{c} (н), c журнал (н)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

У результаті аргументу прокладки (трохи хитрі дивіться коментарі) у нас є

(1) D Т Я М Е (н) \subseteq А Т Я S П ({журнал}^{c} (н), c журнал (н)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

Розширивши аргумент прокладки, отримаємо

(2) D Т Я М Е (н^{к}) \subseteq А Т Я S П (к^{c} {журнал}^{c} (н), к c журнал (н)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) D Т Я М Е (2^{н^{к}}) \subseteq А Т Я S П (к^{c} н^{к c}, к c н^{к}) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

Крім того, відомі результати моделювання змінних машин Тьюрінга, обмежених часовим простором. Зокрема, ми знаємо, що

А Т Я S П ({журнал}^{c} (н), c журнал (н)) \subseteq D S П А С Е (О ({журнал}^{c + 1} (н))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

Таким чином, ми ( в основному) , мають такі для всіх натуральних чисел : $k$

(2^{*}) D Т Я М Е (н^{к}) \subseteq D S П А С Е (к^{c + 1} {журнал}^{c + 1} (н))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3^{*}) D Т Я М Е (2^{н^{к}}) \subseteq D S П А С Е (н^{к (c + 1)}) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

З , ми отримаємо , що . $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

===================== Після думки ====================

Важливо зауважити, що означає для деякої постійної . $P = NC$

А Т Я S П ((журнал (н))^{О (1)}, О (журнал (н))) = А Т Я S П ({журнал}^{c} (н), О (журнал (н)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

Будь-які коментарі чи виправлення вітаються. :)

— Майкл Вехар
джерело

1

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

1

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

1

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

1

@Turbo Дякую за подальші дії !! Я дійсно думаю , що ви повинні прочитати визначення в нижній частині сторінки 370 з: sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— Майкл Wehar

1

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$