Мінімізація багатомовних DFA

Мене цікавить невелике узагальнення DFA. Як звичайно, у нас встановлено стан , кінцевий алфавіт , a -дія, визначена на за допомогою , і початковий стан ; але замість звичайного термінального безлічі, ми беремо сімейство підмножин . Багатомовний DFA - це кортеж $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

і розпізнається iff для деяких . Визначте як сімейство мов, визнаних M, якщо хочете. $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

Гаразд, тепер для мого запитання: зважаючи на сімейство регулярних мов , я хочу знайти мінімальний багатомовний DFA як описано вище, таким, що для всі , тобто такі, щомінімізується на всіх таких машинах. Моє запитання: чи існують відомі ефективні способи зробити це, можливо, аналогічно стандартній теорії мінімізації DFA? І навпаки, чи є докази того, що ця проблема може бути важкою? $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
джерело

Мені здається, що стандартний алгоритм на основі уточнення розділів, модифікований лише для початку розбиттям початкового набору станів, приймаючи / неприймаючи для кожного з заданих підмножин а не для одного набору , повинен просто працювати негайно. Чому б і ні? Він розбиває лише пари станів, коли вони повинні бути розбиті, тому він все ще створює найбільш грубе можливе уточнення станів.

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— Девід Еппштейн

Доведення коментаря @DavidEppstein є легким, якщо для кожного визначити відношення еквівалентності iff , де - відношення еквівалентності Міхілла-Нерода. Потім можна продовжувати ті ж лінії, що і стандартний алгоритм мінімізації.

x \sim y

$x\sim y$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$

i

$i$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$

— Шауль

не дуже розумію. відповідь на цю проблему знаходження мінімальної DFA об'єднання DFA з однаковими "налаштуваннями" за винятком різних кінцевих станів, кожен DFA за ? також дефініція розпізнавання , мабуть, не має сенсу, вона здається змішувати рядки та набори стану.

1.. n

$1..n$

L = {. . .}

$L=\{...\}$

— vzn

Точки ДевідЕппштейна і Шаула виглядають переконливо, я знайду деякий час, щоб перейти над теоремою Міхілла-Нерода, коли встигну переконати себе, що коефіцієнт все ще дає мінімальний автомат. Заднім числом це здається занадто очевидним.

— gdmclellan

@vzn: напевно не хочеться об'єднати мови оригінального автомата; і може перекриватися. Багатомовним DFA з мовами і повинні бути в змозі звіту, що , наприклад, , але . Що стосується позначень, що використовуються для визначення розпізнавання мови, позначення визначається шляхом поширення на -дія на наступними правилами для всіх : .

T_{i}

$T_i$

A

$A$

B

$B$

s \in A

$s\in A$

s \notin B

$s\notin B$

δ

$\delta$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Q

$Q$

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan

Коротка відповідь . Враховуючи кінцеве сімейство регулярних мов , існує унікальний мінімальний детермінований повний багатоавтомат, що розпізнає це сімейство. $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

Деталі . Випадок відповідає стандартній конструкції, і загальний випадок не сильно відрізняється за духом. Давши мову і слово , нехай . Визначте відношення еквівалентності на , встановивши оскільки є регулярними, це порівняння має кінцевий індекс. Далі легко побачити, що кожен насичений і що для кожного , означає $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

\sim

$\sim$

a \in A

$a \in A$

u \sim v

$u \sim v$

u a \sim v a

$ua \sim va$ . Позначимо через порожнє слово і -класу слова . Нехай - детермінований багатоавтомат, визначений так:

1

$1$

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$

u

$u$

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ .

За побудовою тоді і лише тоді, коли а значить приймає сімейство . Залишається довести, що мінімальний. Він насправді мінімальний у сильному алгебраїчному сенсі (що означає, що він має мінімальну кількість станів). Нехай і - два мультиавтомати. Морфізм - сюр'єктивна карта з на така, що $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

$f(q_-) = q'_-$ ,
для , , $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
для всіх і , . $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

Тоді для будь-якого доступного детермінованого багатоавтомата приймає , існує морфізм від до . Щоб довести це, спочатку переконайтеся, що якщо , то . Тепер визначається де - будь-яке слово, таке, що . Тоді можна показати, що задовольняє трьом необхідним властивостям. $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ $q_- \cdot u = q$ $f$

Кінець трохи схематичний, дайте мені знати, якщо вам потрібно більше деталей.

— Ж.-Є. Шпилька
джерело