Проміжні -повні проблеми?

Проблема розбиття слабо NP-повна, оскільки вона має поліноміальний (псевдополіномічний) алгоритм часу, якщо вхідні цілі обмежені деяким многочленом. Однак 3-Розділ є сильно повним NP-завданням, навіть якщо вхідні цілі числа обмежені многочленом.

Якщо припустити, , чи можемо ми довести, що проміжні проблеми, повні NP, повинні існувати? Якщо відповідь "так", чи існує така "природна" проблема кандидата? $\mathsf{P \ne NP}$

Тут Проміжна NP-повна проблема - це проблема, яка не має ні алгоритму псевдополінома часу, ні NP-повного в сильному сенсі.

Я здогадуюсь, що існує нескінченна ієрархія проміжних проблем NP-повного між слабкою повнотою NP і сильною NP-повнотою.

EDIT 6 березня : Як зазначено в коментарях, альтернативний спосіб поставити питання:

Якщо припустити, , чи можемо ми довести існування NP-повних задач, що не мають ні алгоритму багаточленного часу, ні NP-повного, коли числові входи подаються не одинаково? Якщо відповідь "так", чи існує така "природна" проблема кандидата? $\mathsf{P \ne NP}$

EDIT2 6 березня : Зворотний напрям наслідку відповідає дійсності. Існування таких "проміжних" -повна проблеми випливає , так як якщо , то одинарні -повна проблеми в . $NP$ $\mathsf{P \ne NP}$ $\mathsf{ P=NP}$ $NP$ $P$

cc.complexity-theory np-hardness partition-problem

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

@MarzioDeBiasi Існує ще одне визначення сильної NP-повноти (можливо, менш популярне), яке визначає, що числова проблема є NP-повною, навіть якщо всі вхідні цілі числа представлені в одинарних позначеннях.

— Мохаммед Аль-Туркстані

@vzn це смішний коментар! 1) thm ladner's - це не про np важкі проблеми, які не є np завершеними; 2) в той час, як Мухаммед є своєрідною термінологією перевантаження, він чітко визначає свій клас проблем (NPC, не сильно NPC та відсутність алгоритму часу псевдополітики), і він відрізняється від NPC.

— Сашо Ніколов

@ MohammadAl-Turkistany: добре дякую, можливо, я пропоную вам назвати це одинаковою NP-повнотою, як у Гарі та Джонсона "Сильні" результати NP-повноти: Мотивація, приклади та наслідки . Отже, ви шукаєте проміжні проблеми між одинарним NPC та псевдополіномічним NPC. Я все ще намагаюся зрозуміти це, однак у своїй роботі G&J кажуть (про одинарний NPC): "... Не важко зрозуміти, що це відповідає нашому уявленню про сильну NP-повноту ...".

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Я думаю, що ідея полягає в тому, що ми можемо (->) задати двійкове число полінома розміру на вході, перетворити його в одинарне в політимі та запустити унарний алгоритм, (<-) з одиничним введенням довжини poly в полі решта вводу, прочитайте все та перетворіть його у бінарний та запустіть двійковий алгоритм.

— usul

Оскільки будь-яка проблема, що має алгоритм поліноміального часу, якщо один із вхідних параметрів фіксований, знаходиться у FPT, ви, здається, по суті запитуєте, чи є проблеми складніші за FPT, але не W [1] -hard. Наскільки я знаю, теорему Ладнера можна поширити на цю установку; це може бути в підручнику Flum / Grohe.

— Андрас Саламон

Це часткова відповідь, яка дає лише кандидату проміжну незавершену проблему. $NP$

$k$ -задача підмножини підсумкової суми: З огляду на множину з позитивних цілих чисел , чи є непусті нероздільні підмножини такий, що ? $n$ $A = \{a_1,...,a_n\}$ $k$ $S_1,...,S_k ⊆ \{a_1,...,a_n\}$ $sum(S_1) = ... = sum(S_k)$

Проблема слабко незавершена, коли і тому має алгоритм часу псевдополінома для будь-якого фіксованого постійного цілого числа . Однак він стає сильно незавершеним, коли кількість рівних підмножин суми . $NP$ $k= O(1)$ $k > 2$ $NP$ $k= \Omega(n)$

Якщо і то -провідна сума підмножини суми є кандидатською проміжною задачею незавершеною (як описано в питанні). Невідомо, що ця проблема не має алгоритму псевдополінома часу, а також не виявила себе повною у сильному сенсі. $k= \omega(1)$ $k= O(\log n)$ $k$ $NP$ $NP$

Довідка:

CIELIEBAK, EIDENBENZ, PAGOURTZIS і SCHLUDE - ПРО СКЛАДНІСТЬ ВАРІАЦІЙ РІВНІХ ПІДСУМКІВ, Nordic Journal of Computing 14 (2008), 151–172

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Ви бачили це cstheory.stackexchange.com/a/7427/15637 ?

— Томас Каліновський

Так. Ця відповідь, мабуть, є штучною проблемою.

— Мохаммед Аль-Туркстані