Чи існує розширення регулярних виразів, що фіксують вільні контекстні мови?

У багатьох працях, що стосуються безконтекстних граматик (CFG), приклади таких граматик, представлені там, часто допускають просту характеристику мови, яку вони генерують. Наприклад:

S $S \to a a S b$
$S \to$

породжує ,$\{ a^{2i} b^i | i \geq 0\}$

S → a a S b S $S \to a S b$
$S \to a a S b$
$S \to$

породжує , і$\{ a^i b^j \mid i \geq j \geq 0 \}$

S → b S b S $S \to a S a$
$S \to b S b$
$S \to$

породжує , або рівнозначно (де посилається на частину, захоплену ).$\{ w w^R \mid w \in (a|b)^* \}$$\{ ((a|b)^*)_1 ((a|b)^*)_2 \mid p_1 = p_2^R \}$$p_1$$(...)_1$

Наведені вище приклади можуть бути згенеровані шляхом додавання індексів ( ), простих обмежень на ці індекси ( ) та відповідності шаблону до регулярних виразів. Це змушує мене замислитися, чи всі контекстні мови можуть генеруватися деяким розширенням регулярних виразів.$a^i$$i > j$

Чи є розширення регулярних виразів, які можуть генерувати всі чи деякі значні підмножини вільних контекстних мов?

Так, є. Визначте без контексту вираз як термін, породжений наступною граматикою:

$$\begin{array}{lcll} g & ::= & \epsilon & \mbox{Empty string}\\ & | & c & \mbox{Character $c$ in alphabet $\Sigma$} \\ & | & g \cdot g & \mbox{Concatenation} \\ & | & \bot & \mbox{Failing pattern} \\ & | & g \vee g & \mbox{Disjunction}\\ & | & \mu \alpha.\; g & \mbox{Recursive grammar expression} \\ & | & \alpha & \mbox{Variable expression} \end{array}$$

Це всі конструктори для звичайних мов, за винятком зірки Клінова, яку замінює загальний оператор фіксованої точки та змінний механізм відліку. (Зірка Клейна не потрібна, оскільки її можна визначити як g ∗ ≜ μ α $\mu \alpha.\;g$ .)$g\ast \triangleq \mu \alpha.\;\epsilon \vee g\cdot\alpha$

Інтерпретація контекстного вираження вимагає обліку інтерпретації вільних змінних. Отже, визначте середовище як мапу від змінних до мов (тобто, підмножини Σ ∗ ), і нехай [ ρ | α : L ] - функція, яка поводиться як ρ на всіх входах, крім α , і яка повертає мову L для α .$\rho$$\Sigma^*$$[\rho|\alpha:L]$$\rho$$\alpha$$L$$\alpha$

Тепер визначте інтерпретацію без контексту виразу таким чином:

$$\newcommand{\interp}[2]{[\![{#1}]\!]\;{#2}} \newcommand{\setof}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\comprehend}[2]{\setof{{#1}\;\mid|\;{#2}}} \begin{array}{lcl} \interp{\epsilon}{\rho} & = & \setof{\epsilon} \\ \interp{c}{\rho} & = & \setof{c} \\ \interp{g_1\cdot g_2}{\rho} & = & \comprehend{w_1 \cdot w_2}{w_1 \in \interp{g_1}{\rho} \land w_2 \in \interp{g_2}{\rho}} \\ \interp{\bot}{\rho} & = & \emptyset \\ \interp{g_1 \vee g_2}{\rho} & = & \interp{g_1}{\rho} \cup \interp{g_2}{\rho} \\ \interp{\alpha}{\rho} & = & \rho(\alpha) \\ \interp{\mu \alpha.\; g}{\rho} & = & \bigcup_{n \in \mathbb{N}} L_n \\ \mbox{where} & & \\ L_0 & = & \emptyset \\ L_{n+1} & = & L_n \cup \interp{g}{[\rho|\alpha:L_n]} \end{array}$$

Використовуючи теорему Кнастера-Тарського, легко зрозуміти, що інтерпретація - найменше фіксований вираз.$\mu \alpha.g$

Досить просто (хоч і не зовсім тривіально) показати, що ви можете надати без контексту вираження, що походить на тій же мові, що і будь-яка граматика без контексту, і навпаки. Нетривіальність виникає з того, що без контекстних виразів вкладені фіксовані точки, а безконтекстні граматики дають вам одну фіксовану точку над кортежем. Це вимагає використання леміки Бекіча, яка точно говорить про те, що вкладені нерухомі точки можуть бути перетворені в одну фіксовану точку над твором (і навпаки). Але це єдина тонкість.

EDIT: Ні, я не знаю стандартного посилання на це: я розробив це для власного інтересу. Однак, це явна конструкція, на яку я впевнений, що вона була винайдена раніше. Деякі випадкові Googling розкривають Joost Winter, недавню книгу Marcello Bonsangue та Яна Руттена "Без контексту", "Coalgebraically" , де вони дають варіант цього визначення (вимагаючи, щоб усі фіксовані точки були захищені), які вони також називають виразами без контексту.

У MathOverflow виникло тісно пов'язане питання (і кілька відповідей) про мови, функції генерування яких є голономічними .

Цікаво, що визначення Нееля семантики вище відповідає точно (конструктивному) доказу існування видових розв’язків рекурсивних рівнянь виду через неявну теорему про види. На жаль, його доказовий контур також повинен містити тонку помилку, оскільки бувають випадки, коли справи йдуть «нескінченно». Іншими словами, на якобіанці існує умова, щоб перетворення, визначене граматикою, було несингулярним, яке потрібно. Ймовірно, тому Бонсанг-Руттен вимагає охороняти фіксовані пункти, як один із способів страхувати цю умову на якобійців.$\mu$

Нещодавно ми опублікували контури структури, яка буде робити саме це. Подивіться під comp.compilers , куди я надіслав сповіщення разом із деякими посиланнями.

Нові розробки спрацьовують теорему Хомського-Шутценбергера і можуть вважатися завершенням цього результату. Сам Хомський ознайомився з подіями і вказує на бажання "наздогнати".

Поряд з цим розвитком ми також встановлюємо еквівалентність двох окремих формулювань для безконтекстних виразів - тієї, яка є розширенням / завершенням форми му-числення "найменшої фіксованої точки" (спочатку Груска, Інтема і Маквітер) - який отримав остаточну формуляцію сортів у 2014 році, а інший опублікував у 2008 році.